발도르프학교의 교육과정 (2) - 수학 수업

수학 수업

 

 

일반적인 관점과 목표

 

“발도르프 학교에서 수학은 세 단계로 나눠진다. 첫 번째 단계는 1학년부터 5학년에 해당한다. 이 단계에서 수학은 아이의 삶의 과정과 밀접하게 연관된 활동으로서 발전한다. 또한 이때 수학은 내부에서 외부로의 진보이다. 두 번째 단계는 6학년부터 8학년에 해당하는데, 이 단계의 가장 강조점은 실용성에 있다. 9학년 시기는 ‘이성적 관점으로의 이행’으로 특징화된다.”

 

첫 번째 단계

 

다음 두 가지 질문은 대답이 필요하다

1. 어떻게 첫 번째 수학적 개념이 다뤄져야 하는가?

2. 수학적 개념을 세우기 위한 심리학적 토대는 무엇인가?

 

질문 1에 대한 대답: 수학(산수)적 그리고 기학학적 개념은 아이의 의식과 사지체계의 활동에 관련되어 있다. 수를 세는 것은 내면의 활동이다. 이 내면의 활동에 의해 외부 활동은 관찰될 수 있다. Schuberth는 수를 세는 것을 “수학교육의 감각적 내용”이라고 했다. 피아제의 아동의 지능 발달에 관한 연구도 같은 방향을 가리키고 있다. 구체적 조작기 단계에서(12-13세) 아이들은 여전히 무언가를 다른 것에 연결하고자 할 때 움직임을 실행한다. 어쨌든 이런 움직임들은 물리적 물체와 연결된다. 아이들은 이러한 물체로부터 아직 거의 스스로를 분리시키지 못한다.

 

이러한 관점은 두 번째 질문으로 이어진다: 수학적 개념의 발달이 고정되고 구체적인 단계에 발생한다면, 우리의 목적은 “일반화나 추상화가 아니라 구체화이며 개별 아동의 상태를 관찰하는 것이다.” 이런 목적은 아이들이 추상적 논리적 구조와 직면하는 것을 피하게 할 수 있다. 그 대신 아이들의 전 경험을 수학에 몰두하는 것을 가능하게 한다. 우리는 여기서 ‘형태 그리기’를 언급할 수 있다. 형태 그리기를 통해 수학을 사용하는데 필요한 의식이 길러지고 연습된다. 이런 신체적 경험은 형식적 조작 단계에로의 건강한 진입의 토대이자 추정이다(피아제). ‘손에서 가슴을 거쳐, 머리로’의 규칙은 위에서 언급한 ‘아이들의 전 경험’을 의미한다. 이 규칙은 아이들이 그들의 능력을 실행할 수 있게 한다. “가장 최고의 그리고 생산적인 질문은 학생으로부터 나온다. 학생은 질문할 때 빠른 지능이 아닌 몰두된 감정을 사용한다. 이런 감정은 명확성이 사고에 이르게 한다.”

 

초등학교 수준의 수학에 대한 구체적인 접근을 위해서 우리는 또 다른 것을 추가해야 한다. 그것은 움직임의 요소에 의존하고 있지 않다. 이것은 ‘질’ 또는 개별 수들의 정체성이다.

 

앞부분에서의 강조점은 수에 대한 양적 접근(수를 세는 것 등)이다. 우리는 수업의 도입을 양적인 수 개념과 함께 ‘질적인 수 개념’에 두어야 한다. 우리는 질문 속의 수가 세상에서 실제로 작동하고 있는 많은 예들을 조사할 때 ‘수의 질’에 접근한다. 예를 들면, 장미 꽃 속의 5. 여기서 우리는 아이들이 가지고 있는 이 세상과 인간의 창조 뒤에 무엇이 있는가에 대한 궁금증을 이용한다. 그것은 바로 현상 뒤에 무엇이 있는 가에 대해 질문하는 것이다. Heitler라는 한 과학자는 “1은 사람의 관심을 사물들의 전체성과 연관된 특성에 향하게 한다.”

 

슈타이너는 이것을 수 개념 도입을 시작할 때 취하기를 추천했다. “우리는 점차 종합적 방식으로 수를 다루는 문명 단계로 접근하고 있다. 우리는 하나의 개체, 두 번째 개체, 세 번째 개체를 가지고 있다. 그리고 하나와 다른 하나를 결합하기 위해 첨가적인 방식으로 수를 세면서 씨름한다. 그래서 수를 셀 때 하나는 다른 것의 뒤에 있다. 원시적 인간은 이런 식으로 계산을 발전시키지 않았다. 수를 세는 것은 개체에서 시작한다. 2는 개체의 외부적인 반복이 아닌 개체 안에 있다. 1은 우리에게 2를 주었다. 그리고 2는 1 안에 포함되어 있다. 1은 나눠지면 우리에게 3을 준다. 그리고 3은 1안에 포함되어 있다. 2가 1에서 나오고, 1 안에 포함되어 있다는 건, 내면의 유기적인 그림이다. 개체는 모든 것을 아우르고, 숫자들은 개체의 유기적 분리이다.”

 

수를 보는 이런 진정한 방식은 쓰여진 숫자, 상징으로 이끈다. 이것은 글자를 소개하기 위해 사용하는 그림이 아니다. 이것은 수의 질에 해당하는 그림이다(가령 원이나 삼각형 또는 별). 이 그림(상징)은 외부의 상징 형태가 아닌 숫자의 존재 자체에 속한다. 이 시점에서, 우리는 ‘질적 접근방식(quality-orientied)’의 교육의 중요성을 제시한다: 오늘날, 특히 생태적 재앙과 파괴에서 양적인 세계관의 결과에 직면하고 있는 이때, 수학교육에 있어서 이런 방식을 시작하는 것은 무척이나 중요하다.

 

수의 구체적인 질적 특성을 배우고 동시에 수를 세고 계산하는 움직임을 함으로써, 아이들은 실재(reality)로 이어지는 길 찾고 구하는 지성을 발달시킨다.

 

이런 관점은 두 번째 단계로 우리를 이끈다. 여기서 우리는 계산의 실용적 사용을 반드시 다뤄야 한다.

첫 번째 단계에서 계산이 충분히 연습되면, 응용 계산은 질적인 색채를 갖게 된다. 경영 수학, 비율 그리고 이율 등에 쓰이는 지성의 힘은 가치중립적이지 않다. 그것은 균형 잡힌 검사와 판단을 위한 입장을 보유할 수 있다. 슈타이너는 장부정리를 수학 시간에 포함시켜야 한다고 제안했다. 이 제안의 뒤에 숨겨진 일반적인 생각을 알기 위해선, 장부정리를 통해 어떤 기술이 개발되는지 물어야 한다. 그러면 이런 기술을 통해 어떻게 무역의 윤리적 도구가 결정적으로 뒷받침되는지 보게 될 것이다.

 

이런 주제들은 우리를 다른 교육적 목표로 이끈다: 내면의 운동성은 수학 문제를 풀 때 상상력으로 이끈다.

수의 질적 특성에 대한 경험을 통해 아이들은 신뢰와 안정을 경험한다: 수, 세상, 인간 존재는 연결되어 있다.

 

아이들은 문제에 대한 정확한 답을 통해 더 많은 안정을 경험한다. 이를 통해 그들은 어느 정도의 독립을 얻는다. “이런 이유로 수학은 권위의 족쇄로부터 아이들을 해방시키는 데 적합한 활동이다. 처음에는 그들이 교사의 도움에 의존해야 함에도 불구하고 말이다.”

 

계산은 평소의 연습 없이는 가능하지 않다. 이것은 의지를 교육하는 데 아주 좋은 수단이다.

 

수학의 한 부분인 기하학 교육은 5학년과 6학년 때부터 시작하고 주요 수업 시간에 이뤄진다. 이 과목의 중요한 의도 중에 하나는 공간을 시각화하는 능력을 발전시키고 기르는 것이다. 맨손으로 그리는 기하학은 1학년부터 4학년 때까지의 형태 그리기를 통해 잘 준비된다.

 

과목과 연관된 기술, 지식, 기술의 확립은 나이와 관련된 복잡한 특성에 따라 지도된다.

 

 

<1학년부터 3학년>

 

"관점과 일반적인 주제"

 

의지 활동의 역동은 수를 세는 경험을 통해 내면화 되어야 한다. 내면의 동기는 수의 질을 그림으로 묘사함으로써 깨워진다. 이 두 부분은 중요하다; 하나는 움직임의 경험을 통해, 움직임의 가능성을 펼침으로써 그리고 협응 운동(co-ordination exercise)을 통해 신체 감각을 교육한다. 또 다른 하나는 영혼의 활동 안에 표현된 활동들을 내면화 하는 것이다(예, 계산). 이를 성취하기 위한 주요한 도구는 그림의 사용이다. 그림을 통해 아이들은 의도된 것을 내면적으로 알아차린다. 순수하게 상징적, 논리적 설명은 이것을 결코 성취하지 못한다. (그럼에도 불구하고 계산은 그림이 없는 세상을 목표로 한다, 알파벳 글자의 소개와는 대조적으로) 양적으로 수를 자유롭게 다루기 위해선, 내면에 숫자의 공간이 만들어져야 한다. 여기서 아이들은 움직이는 것을 배운다, 처음에는 리듬있게, 다양한 숫자 패턴들과 함께. 이것은 다양한 수단들, 가령 리듬 활동(박수를 치며, 콩 주머니를 주고받는 등)을 통해 구구단을 배우면서 발달한 기억을 통해 성취된다. 실제적인 계산에 가능한 구체적이고 시각적으로 접근하는 것과 ‘전체에서 부분으로’의 원칙을 기억하는 것이 아주 중요하다. 이는 분석적 사고와 종합적 사고의 바른 연결이 되어짐을 의미한다. 3학년 말기에 학생들은 1020까지 자신감 있는 이해와 명확한 시각을 가져야 한다. 이것은 단지 양만이 아닌 수의 질까지 의미한다.

 

"수업 내용 제안"

 

1학년

수학 수업에서의 접근은 분석적이다. 개체로서 숫자 1로 시작하고 나서, 1부터 10까지의 숫자들(상징들)을 질적인 방식으로 다뤄야 한다. 숫자 표기는 로마자로 시작한다. 로마자가 아라비아 숫자에 비해 덜 추상적이다. 대안적으로 알파벳과 마찬가지로, 아라비아 숫자는 그림으로 소개되어질 수 있다.

- 110까지 수 세기

- 가슴과 리듬적인 활동으로 7단까지 배우기

- 사칙 연산 소개하기. 20까지의 수를 이용해서. 수와 연산 써보기(총합을 먼저 쓴다. 7은 3+4)

- 숫자 수수께끼

- 암산 연습

 

2학년

- 암산의 더 많은 연습

- 수 세기의 확장, 100까지의 수를 이용해서 사칙연산 연습

- 합산 연습

- 소수

- 가슴으로 12단까지

- 분석적, 종합적으로 쓰면서 계산 연습하기

- 2학년때는 계산은 역전된다 (예, 3+4 = 7)

 

3학년

- 암산

- 1020이나 1100까지 수를 사용해 더하기

- 쓰면서 두 자릿수 이상의 수를 사용한 덧셈과 뺄셈

- 쓰면서 두 자릿수를 사용한 곱셈

- 쓰면서 약수를 사용한 나눗셈

- 15단까지, 10단은 900까지

- 가슴으로 제곱수

- 무게, 길이 재기(실용적 주제), 간단한 실용적 문제로 계산하기

 

"1학년부터 3학년 - 산술능력 체크 리스트"

 

수

1 사칙연산, 부호 사용(구어와 문장 형식을 통한 과정도 포함)

1 1부터 12까지 수의 질적 특성

1 로마자 1부터 X까지 이해, 1부터 100까지 아라비아 숫자

1 1부터 100까지 세기

1/2 홀수와 짝수의 차이점 이해

1-3 1단부터 12단

1/3 말하면서 간단한 암산

2/3 1000까지 분석하고 수 세기

2/3 구구단을 이용해 나누기 (24는 6과4)

2/3 10,9,5,4,11단의 구구단 패턴 알기

2/3 4자릿수 자릿값 사용하기

2/3 올림, 내림 있는 계산(19+2/ 74x2)

3 다같이 또는 혼자서 1단부터 12단까지 암송하기

 

형태 그리기

1/2 직선, 곡선, 평행선, 수직 축을 놓고 대칭 그리기

1-3 기본적인 기하학 형태 맨손으로 그리기

3/4 대칭적 반사 그리기: 수평선, 대각선 축을 놓고

 

측정

2/3 간단한 지폐 계산, 거스름 돈 계산

3 시, 30분, 15분 이용해 시간 말하기

3 실용적인 덧셈 문제 계산하기

3 간단한 길이, 부피, 무게 덧셈 계산하기