게오르그 글뢱클러 선생님의 수학 강연 (3)

게오르그 글뢱클러 선생님의 수학 강연 (3) - 2012년 4월 25일 수요일

 

 

예, 오늘은 대수를 좀더 하고 시간이 남으면 천문학을 하겠습니다. 대수를 할 때 암산은 뭘하면 좋을까요? 예를 들어서, 제가 어떤 수를 생각합니다. 거기에 6을 더합니다. 그러면 10이 됩니다. 제가 무슨 수를 생각했을까요? (4!) 또 하나의 수를 생각했어요. 거기에 7을 더하고요, 전체를 5로 나누면 2가 됩니다. 처음 숫자가 뭐였을까요? (3!) 이제 더 어려워질 거예요. 하나의 숫자에 5를 더하고 곱하기 2를 한 다음 빼기 4을 하면 12가 됩니다. (3!) 다 그렇게 나오셨나요? 아니면 몇 분 틀리셨나요? (웃음) 또다른 숫자를 생각할게요. 5를 뺍니다. 곱하기 2를 해요. 더하기 9를 해요. 그러면 1이 됩니다. (1!) 예, 1입니다. 지금 세 가지가 연달아서 나왔는데 물론 교사가 잘 할 수 있어야 합니다.

 

두 가지 연산을 해보겠는데 좀더 간단합니다. 똑똑한 아이들에겐 어려운 과제를 주기도 합니다. 지식의 사도와 같은 똑같은 아이들은 따로 과제를 줘야 합니다. 2라는 숫자가 있는데 여기에 어떤 숫자를 더하고 5를 곱하면 20이 됩니다. (2!) 교사는 모든 아이들이 이걸 할 수 있을 거라 착각하면 안 됩니다. 3이라는 숫자가 있습니다. 여기에 뭔가를 더한 뒤에 4로 나누면 2가 나옵니다. (5!) 이런 과제를 줄 때 교사는 정말 좋은 기억력을 가져야 합니다. 안 그러면 어딘가로 빠져버립니다. 이런 식으로 대수의 암산을 합니다.

 

어떤 숫자를 생각합니다. 빼기 1을 해요. 이것을 5로 나눕니다. 거기에 2를 더합니다. 그러면 4가 됩니다. (11!) 몇 명은 대답하고 몇 명은 침묵하고 있습니다. (웃음) 이렇게 수업시간에 모든 아이들이 다 잘하고 있다고 생각하면 안 됩니다. 금방 한 것을 떠올려보세요. (x-1)/5+2=4 어떻게 해야 할까요? 어떤 아이들은 할 수 있지만 어떤 아이들을 하지 못합니다. 아이들이 어떤 방법을 발견해야 할까요? 아이들은 교사가 이야기한 것을 순서대로 다 기억해야 합니다. 교사가 “철수야, 그거 다시 한번 얘기해봐”라고 할 수 있지요. 제가 어떤 수를 생각했지요. 거기에서 1을 뺐고, 5로 나눈 다음, 거기에 2를 더했더니 4가 나왔습니다. 이걸 계속 반복해야 해요. 이건 기억력을 키우는 방법입니다.

 

어떤 사람은 정말 안 좋은 기억력이 있습니다. 기억력이 형편없이 안 좋은 아이는 어떤 모습을 보일까요? 슈타이너는 이런 아이들이 자주 아프다고 하였습니다. 만약 저녁에 부모님들께 이런 말씀을 드리면 굉장히 놀라실 겁니다. 아이들이 그걸 잘하려면 건강해져야 합니다. 상급에도 그렇고 어른들도 그런 사람이 있습니다. 항상 감기 걸려 있는 사람이 있지요. 슈타이너는 그 사람들이 노력을 안 하는 사람이라고 했습니다. 아마 이렇게 말하면 요즘 사람들은 웃을 겁니다. 노력하지 않는 사람은 질병에 잘 걸린다고요. 계산을 아주 잘 하는 아이는 잘 관찰해보면 감기가 잘 안 걸립니다. 그래서 게으르고 노력을 잘 하지 않는 아이는 수학시간에 학교에도 오지 못하고 아프기도 합니다. 수학교사는 잘 봐야 합니다. 누가 같이 노력하고 있지 않는가? 몇 명이 대답하면, 아 쟤네들은 괜찮구나, 하고 생각할 수 있습니다.

 

그 다음에는 칠판에 써서 보여줍니다. (x+2)/3-1=20 쓴 것을 가지고 말을 해봅니다. 거꾸로 해보는 거죠. +, -, *, /를 설명하는 게 아니라 이야기로 풀어내는 것입니다. (x-3)/5-1=14 누가 말로 해보겠습니까? 여기에는 더 높은 기억력이 필요합니다. 결과로 14가 나오기 전에 1을 뺐어요. 그 전에는 뭐가 있었나요? (15!) 그러면 그 전에는 뭐였나요? (75) 75가 되기 전에는 뭐였나요? (78)

 

(x-3)/5=15

(x-3) =75

x =78

 

이렇게 거꾸로 계산을 하는 방식이 있습니다. 이런 것도 계속 연습을 해야 하는 거죠. 이걸 연습할 때 교사들이 서너 명 모여서 연습을 하고 그 다음에 아이들에게 하면 좋습니다.

 

정말 수학을 잘 하는 아이들은 3개의 연산이 아니라 4개, 5개, 6개 자리도 할 겁니다. 교사보다 더 잘하는 아이도 있습니다. 그러면 교사는 아주 잘 준비를 해야 하겠죠. 암산을 다시 할게요. 어떤 숫자를 제가 생각했습니다. 거기에 11을 더하고 6으로 나누면 2가 나옵니다. (1!) 어떻게 답이 나왔는지 설명해 보세요. (6으로 나누어서 2가 되는 수는 12. 11에 1을 더하면 12가 되겠지요.) 이렇게 정확히 말해야 합니다. 2가 되기 전에 6으로 나누었는데 그러면 12가 되고, 그 전에는... 이렇게 말해야 합니다.

 

현명한 교사는 이렇게 말합니다. 만약 그 교실에 아이들의 기억력이 낮다면 모두 교사 탓입니다. 만약 학생들이 무얼 못한다면 다 교사 탓이에요. 아이들이 수학을 못하는 게 아니라 교사에게 원인이 있습니다. 아주 비극적이지요. 안 좋은 교사는 항상 아이들 탓이라고 말을 합니다. 다시 기억력에 대한 것으로 돌아오면요. 2가 있기 전에 6으로 나눴어요. 그렇다면 그 전에는 아마도 분명히 12였을 것이다, 하고 가정을 하는 거죠. 왜냐면 6으로 나눠서 2가 나오려면 12여야 하니까요. 그 전에는 아마도 분명히 1이었을 겁니다. 왜냐면 11을 더해서 12가 되려면 1이 있어야 하니까요.

 

명상보다 더 집중해야 하는 겁니다. 교사가 이걸 할 수 없다면 학생들은 당연히 못하겠지요. 교사로서 이런 말을 듣는 것은 난감한 일이지요. 계산에는 세 가지 방법이 있습니다. 1) 암산으로 머리로만 하는 방법. 2) 글을 써서 하고 그 다음에 말로 설명하는 방법. 3) 검산하는 방법.

 

교사는 항상 빨리 말하는 경향이 있습니다. 자기가 언제 쉬고 말을 하는가 알아야 합니다. 하나를 말하고 쉬고, 하나를 말하고 쉬면서 천천히 하는 경우에는 아이들이 따라오지만 교사가 줄줄줄 얘기해버리면 따라오지 못합니다. 여기에도 리듬이 아주 중요한 것입니다. 집중하는 것은 어떻게 배우나요? 모든 것을 천천히 함으로써 배울 수 있습니다. 걸을 때도 아주 천천히 걸어야 합니다. 머리는 곧추 세우고요. 막 서둘러 걸으면 안 됩니다. 머리 위에 봉을 얹은 것처럼 천천히 걸어야 합니다. 왜냐하면 교사가 빨리 하면 아이들은 따라올 수 없습니다. 아이들은 숨을 쉬고 싶어 합니다. 교사가 말을 빨리 하면 아이들은 이해할 수 없습니다. 가능하면 위에서 내려오듯 중저음으로 말해야 합니다. 그러면 조용해지면서 집중할 수 있게 됩니다. 그렇지 않다면 항상 소란스럽게 됩니다.

 

집에서 천천히 걷는 걸 연습하세요. 현대사회에서는 모든 게 질주하고 있지요. 자동차도 그렇고, 아이들도 그렇습니다. TV의 이미지를 보세요. 얼마나 빨리 변하는지요. 사람을 미치게 합니다. 아마도 모든 사람이 거의 정신과상담을 받으러 가야 할지도 모릅니다. 우리는 아이들을 교육해야 합니다. 아이들이 그렇기 때문에 여기 와 있는 것입니다. 교사가 아주 느리게, 느리게 무언가를 한다면 아주 좋은 일이고 거기에 배움이 있습니다. 영성의 발달은 지성의 발달보다 7배나 느립니다. 여러분이 연습하지 않는다면 할 수 없습니다. 30분 같이 시간이 있다면, 교사들이 함께 연습을 하자고 하세요.

 

예, 또 어떤 숫자를 생각했습니다. 여기에 20을 더해요. 이것을 7로 나눕니다. 여기에 3을 더해요. 그러면 6이 나옵니다. 이것을 누가 반복해서 말해 주세요. (이은화 선생님이 천천히 말함) 혹시 느끼셨어요? 정말 편안함을 주는 분위기였습니다. 이게 바로 교육입니다. 누가 또 말해 주시겠습니까? 실수하셔도 됩니다. (까먹었어요) 이게 바로 문제입니다. (웃음) 잊어버리면 이 문제를 풀 수 없습니다. 누가 안 잊어버리고 기억하는가가 중요합니다. (장은심 선생님이 더욱 천천히 말함) 벌써 배웠습니다.

 

(x+20)/7+3=6

 

보세요, 제가 얼마나 천천히 숫자를 쓰는지. 후다닥 쓰는 것은 지적으로만 발달한 것입니다. 아주 질서정연하게 써야 합니다. 누가 나오셔서 제가 쓴 것처럼 아주 정성스럽게 쓰실 수 있나요? 교육예술의 한 요소를 우리는 연습하고 있습니다. (이은하 선생님이 아주 천천히 씀) 저렇게 교사가 하면 아이들의 노트정리가 아주 깔끔할 것입니다. 그런데 여길 보면 숫자가 점점 커지는 경향을 볼 수 있습니다. 조금 더 두껍게 써야 합니다. (서은혜 선생님이 더 씀) 예, 여기가 얼마나 조용하게 되었는지 느끼셨어요. 어려서 집중하는 법을 배우지 못하면 어른이 되어 삶을 살면서 방황하게 됩니다. 교사가 정말 가지런하게, 정성스럽게 글자를 쓰게 되면 아이들이 공책정리를 질서정연하게 합니다. 고칠 필요가 없어요.

 

그러면 이걸 어떻게 말로 설명할 수 있을까요? 6이 되기 전에 3을 더했으니까 6 빼기 3은 3이야. 이 모든 것은 6학년의 것입니다. 3이 되기 전에 7로 나눴으니까 반대로 하면 3 곱하기 7은 21이지. 이렇게 천천히 하면 아이들이 모두 따라올 수 있습니다. 참관을 해보면 모든 교사가 다 빨리 하고 있습니다. 왜 그러는지 모르겠어요. 교사가 천천히 하면 교사는 그 상 안에 있을 수 있습니다. 하지만 빨리 하면 지적인 것에만 머물게 됩니다. 지적인 인간은 빨리 말하고 빨리 행동하겠지요. 천천히 말하면서 내적인 그림을 가지고 있어야 합니다. 그래서 여러분은 이것을 연습해야 합니다. 아이들은 뭔가를 발견하면 기뻐합니다. 예를 들어, 오늘 아침에 기하학을 해서 어떤 곡선을 그렸습니다. 그런 뒤에 어떤 그림에서 같은 곡선을 발견하면 아주 기뻐합니다. 제가 21을 갖기 전에는 무엇을 했지요? 이렇게 정서하려면 등호의 위치가 항상 같아야 합니다. 자, 이제 최종 결과를 이렇게 쓰고 선 2개를 밑에 긋습니다.

(x+20)/7=6-3=3

(x+20) =3*7=21

x =21-20=1

x =1

 

이렇게 하면 어떤 기질의 아이가 만족하지 못할까요? 다혈질을 가진 아이는 느끼지도 못했을 거예요. 우울질 아이들을 잘 관찰하면 늘 슬퍼하는 표정을 갖습니다. 40이 되어도 그렇습니다. 답이 나와도 ‘아이고, 이게 맞는 말일까? 틀릴 수도 있을 거야.’ 하고 생각할 겁니다. 그러면 어떻게 해야 제대로 풀었는지 확인할 수 있을까요? 교사회의에서 우울질 교사는 뭐라고 얘기할까요? “우리가 지금까지 얘기한 것은 좋은 결과가 나왔다고 볼 수 있지만 그럼에도 우리는 진정으로 좋은 결과에 도달했다고 할 수 없을 겁니다.” 항상 결말이 안 좋게 끝나지요. 담즙질의 사람은 처음에 뭔가를 말할 겁니다. 담즙질의 아이는 어떻게 교육해야 할까요?

 

우울질은 이렇게 항상 점검을 해봐야 합니다. 이게 맞는지요. 그래서 교사는 우울질 아이들을 위해 “이게 맞을까?” 하고 질문해야 합니다. 교실에는 항상 우울질 아이가 있고, 그 아이들은 위로를 받아야 합니다. 이제 우울질 아이는 만족을 합니다. 우울질 아이는 항상 점검을 하지요.

(1+20)/7+3=?6

21/7+3 =?6

3+3 =!6

 

수업을 처음 시작할 때 어떤 기질의 아이들이 필요할까요? 점액질 아이들은 수업이 끝날 때쯤에야 무얼 하는지 알 것입니다. 담즙질 아이들은 바로 알아차릴 겁니다. (1. 과제 파악하기 - 담즙질) 과제를 처음 시작하는 아이들은 담즙질입니다. 담즙질 아이들은 금방 손을 듭니다. 우울질 아이는 아마 손을 들지 않을 거예요. 그 다음 기질은 무엇일까요? (다혈질) 이 아이들도 아주 빨라요. 이 기질은 금방 빨리 풀어버립니다. 이게 맞는지, 틀리는지 중요하지 않아요. 교사회의에서도 꼭 이런 사람이 있지요. 그 사람 말이 맞는지, 틀리는지 모르면서 막 말하는 사람이 있습니다. (2. 해법 제시하기 - 다혈질) 이제 아주 천천히 이 기질의 아이는 뭘 해야 하는지 파악합니다. 아까 한 걸 다섯 번 정도 반복하면, 그제야 ‘아, 뭘 하는지 알겠어요’ 하는 아이들이 있습니다. ‘아, 이제 나도 같이 해야겠구나’ 생각합니다. (3. 천천히 실행하기 - 점액질) 이제 우울질 아이가 깨어납니다. ‘우리가 한 게 다 맞아?’ (4. 검산하기 - 우울질) 교사회에서도 이런 사람이 꼭 있지요. 다 하고 나서 “근데 우리가 정말 그걸 할 만한 충분한 돈이 있어?” 합니다. 그런데 이게 정말 인간적입니다. 이게 정말 재미있는 일인데요, 왜 항상 이런 면이 조금밖에 활용되지 않을까요? 이런 것이 6학년의 대수입니다.

 

1, 2, 3, 4 같이 순서대로 오는 숫자를 더하면 22가 나옵니다. 어떤 숫자들이 나올까요? 예, 6학년 과제입니다. 아주 간단해요. (4, 5, 6, 7) 누가 알려줬나요, 혼자 했나요? (혼자 했습니다.) (웃음) 아이들에게는 이것이 어떻게 해서 되는지 알아야 합니다. 네 숫자를 다 더했을 때 34가 나오는 것은요? (7, 8, 9, 10) 아까랑 똑같은데, 몇 명은 나오고 몇 명은 나오지 않고 있어요. (시간이 없습니다.) 그런데 우리는 하나라도 제대로 다뤄야 합니다.

 

x + x+1 + x+2 + x+3 = 34

4x+6 =34

4x =34-6=28

x=28/4=7

 

이제 검산을 해볼게요. x에 7을 넣어봅니다. 7+8+9+10=34입니다. 이걸 만약 6학년에 안 했다면 7학년에 하면 됩니다. 다시 할게요. 순서대로 하면 26이 나오는데, 이것은 수학의 사도를 위한 것입니다. (5, 6, 7, 8) 그러면 24가 나오는 걸 해보세요. (안 됩니다.) 왜 안 되나요? 계산을 하면 9/2가 나오는데 이건 자연수가 아니지요. 이제 정말 지식의 사도를 위한 것입니다. 5개의 숫자를 더합니다. 누가 제안을 해보세요. 5가지 수를 더해서 제안해보세요. (30)

 

x + x+1 + x+2 + x+3 + x+4 = 30

5x+10 =30

5x =20

x =4

 

순서대로 있는 숫자 다섯 개를 더하면 40이 되나요? (됩니다) 이제 증명해보일 수 있어야 합니다.

 

x + x+1 + x+2 + x+3 + x+4 = 40

5x+10 =40

5x =30

x =6

 

거꾸로 계산해서 확인할 수 있습니다. 이제 순서대로 있는 숫자 여섯 개를 제안해보세요. (33)

 

x + x+1 + x+2 + x+3 + x+4 x+5 = 33

6x+15 = 33

6x = 18

x = 3

 

검산합니다. 3 곱하기 6은 18. 더하기 15는 33. 3+4+5+6+7+8=33

 

지금까지는 하나의 모르는 숫자(미지수)가 있었는데 이제 두 개의 모르는 숫자가 있습니다.

 

(1) 2x + 3y = 10

(2) 8x - y = 6

 

연립방정식입니다. 7,8학년의 내용입니다. 아주 체계적으로 계산하는 방식이 시작합니다. 실제적인 계산법이 시작됩니다.

 

Aus (2) y = 8x - 6

in (1) 2x + 3(8x - 6) = 10

2x + 24x - 18 = 10

26x = 28

x = 28/26=14/13

 

결과로 분수가 나왔습니다. 만약 분수가 답으로 나온다면 이것은 8학년의 수학입니다. 이걸 통해 y의 값을 구해봅니다. x에 14/13을 넣어서 계산합니다. 그러면 y=34/13이 나옵니다. 이제 조금 쉬운 걸로 해볼까요?

 

(1) 3x + 5y = 16

(2) x + y = 4

 

Aus (2) y = 4 - x

in (1) 3x + 5(4-x) =16

3x + 20 - 5x = 16

-2x = -4

x = -4/-2

어떤 아이들은 바로 답이 나오는 아이도 있습니다. 혹시 식을 보고 바로 답이 나오셨나요? (2, 2) 이것은 7학년부터 가능합니다. 왜냐면 7학년부터 음수를 배우기 때문입니다.

 

- 왜 7학년부터 음수를 배우나요?

 

이유는 간단합니다. 그것이 어렵기 때문입니다. 음수의 계산은 이해하기 어렵습니다. 2의 3배, (-3)의 2배는 쉽지만 2의 (-3)배는 어렵습니다. (-3)의 (-2)배는 무슨 말일까요?

+ * + = +

- * - = +

- * + = -

+ * - = -

공립학교에서는 3학년부터 이게 나오는데, 이건 너무 과도하게 얘기하는 것입니다. 아이들은 그냥 교사의 말을 받아들이는 것이지, 이해하는 것은 아닙니다. 이걸 정말 이해하는 것은 상급학년에 가서나 가능합니다. 음수는 빨리 할 필요가 없습니다. 제가 학생일 때 재치 있게 말하기를 음수는 빚과 같다고 했습니다. 빚과 빚을 곱했는데 돈이 거꾸로 많아졌습니다. 역설과 같은 것입니다. 어른들도 이해하기 어렵기 때문에 7학년에도 어려운 과제입니다. 그래서 7학년 전에는 음수를 도입해서는 안 됩니다. 만약 그 전에 도입한다면 이해하든 말든 “그냥 이건 이렇게 하는 거야” 하고 넘어가야 할 겁니다. 이걸 이해시키고자 한다면 아주 주도면밀하게 천천히 해야 합니다. 계속 연습하고 연습해야 할 것입니다. 아이들이 좋은 기억력을 갖도록 해야 합니다. 그래서 제가 아주 구체적으로 보여드렸습니다. 모든 과목에서 천천히 하고 반복해서 좋은 경험을 하도록 해야 합니다. 천문학도 마찬가지입니다. 모든 게 빨리 지나가듯이 하면 아이들에게 아무것도 남지 않을 것입니다. 이제 끝내야 합니다. 내일 이 시간에 저는 비행기를 타러 갈 것입니다.