게오르그 글뢱클러 선생님의 수학 강연 (1)

게오르그 글뢱클러 선생님의 수학 강연 (1) - 2012년 4월 23일 월요일

 

 

1-3

4-5

6-7-8

 

자, 진심으로 인사드립니다. 제가 요청 받은 테마는 천문학과 6~8학년의 기하학에 관한 것이었는데요, 지금 또 다시 받은 주제는 1~8학년 수학수업에 관한 것입니다. 그래서 여러분과 확인하고 싶습니다. 여러분이 기대하시는 게 다르다면 어려울 수 있기 때문에 확인하려고 하는 것입니다. (좋아요!) 좋습니다!

 

그러면 수학에 대해 1학년부터 8학년 과정까지 살펴보도록 하겠습니다. 흥미로운 사실은, 비록 통역을 통해서지만 우리가 함께 이러한 것들을 나눌 수 있다는 것입니다. 슈타이너는 스스로 표현하기를, 1~3학년은 ‘형성하는 교육(구성하는 교육)’이라고 하였습니다. 이것에서 일반적인 공교육에서 하는 교육적 방식과 구분할 수 있습니다. 수업재료나 내용을 놔두고 어떻게 수업을 할 것인가? 4~5학년에서는 형성하는 것과 함께 이야기의 교육이라고 할 수 있습니다. 그 이야기에는 여러 가지 신화나 전설과 같은 옛이야기가 많이 들어가 있습니다. 하늘의 오리온 신화도 들어갈 수 있구요, 모든 천체에 관한 이야기는 신화로부터 출발합니다. 각각의 민족들은 자신만의 신화와 전설을 갖고 있지요. 이런 것들이 아이들에게 잘 이야기되어져야 합니다.

 

6~8학년에서는 형성하는 교육, 이야기의 교육, 그 다음에는 설명하는 교육이어야 합니다. 6~8학년에서는 설명하는 것이 추가됩니다. 이렇게 삼원성을 볼 수 있습니다. 수학적 과정에서 1학년에 무엇이 있습니까? 이것은 학부모들과도 함께 얘기해볼 수 있습니다. 어떤 아이들이 수학을 배울 때 어디에서 숫자가 옵니까? 어디서 6이라는 숫자가 옵니까? 가정에서 먼저 숫자를 가지고 오는데요, 그래서 아이들에게 6이라는 숫자를 물어보면 아이들은 집에 가서 엄마에게 물어볼 것입니다. 그런 것들에 대해 아이에게 물어봅니다. “2라는 숫자는 어디에 있습니까?” (‘엄마와 아빠’, ‘해와 달’, ‘왼쪽과 오른쪽’) 추상적으로 접근하지 않구요, 구체적으로 이야기합니다. 그러면 아이들이 열심히 떠올리고 말합니다.

 

“3이라는 숫자는 어디서 옵니까?” 이렇게 하나하나의 숫자가 자기에게 다가오도록 합니다. “4라는 숫자가 어디서 옵니까?” (팔다리, 사계절, 동물의 다리, 동서남북) 슈타이너는 특히 개의 네 다리에 대해 개념적인 특성을 가지고 있다고 말한 바 있습니다. 이와 마찬가지로 거미는 몇 개의 다리가 있나요? (8개) 곤충들은 6개의 다리를 가지고 있지요. 그런데 한 아이가 손을 듭니다. “우리 아빠가 그러는데요, 다리가 천개인 동물이 있대요.” 이것은 유머가 담긴 대화의 내용일 수 있습니다. “그러면 5가 어디서 올까요?” 오이리트미스트는 알지요. 우리 몸이 오각형인 걸요. 사과를 옆으로 잘라도 볼 수 있지요. 중요한 건 숫자와 세상의 연관성을 확실히 가져온다는 것입니다.

 

“그러면 6은 어디서 오나요?” 어떤 아이들은 벌집을 찾아오기도 하지요. 백합 같은 꽃에서 발견하기도 합니다. 그 다음에 눈꽃송이를 아십니까? “그 다음에 7은 어디서 옵니까?” (무지개) 일주일의 7일을 말할 수도 있구요, 인지학적으로 7은 중요한데요, 영적인 과정은 우리의 지적인 것보다 7배 천천히 간다는 말이 있습니다. 그렇지만 이건 애들하고 얘기할 주제는 아니겠지요. ‘철수야, 너는 영적인 성장이 어느 정도 됐니?’ 하고 말할 수는 없겠지요. “그 다음에 조금 어려워지는데요, 9라는 숫자는 어디서 오나요?” 일주일에 한 번씩 우리 아버지는 볼링을 치러 갑니다, 그럽니다. 10과 11은요? 축구선수 팀을 11명이라고 할 수도 있구요. 11은 이렇게 추상적으로 넘어갈 수 있는데, 12는 구체적으로 볼 수 있습니다. 12달이 있구요, 인지학에서는 세상을 바라보는 12가지의 시각과 12가지의 감각이 있습니다. 어린이들에게는 이런 얘기를 할 수 없겠지요.

 

- ‘1’은 안 했는데요?

 

= (웃음) (1학년 선생님이십니다.) 세상에는 12가지 종교도 있습니다. 이슬람, 카톨릭, 불교, 등등. 대부분의 종교인들은 자기가 믿는 종교가 옳고 다른 종교들은 틀렸다고 말하지요. 이슬람교도는 그림자가 자기 키보다 커지면 어디든지 방석을 펴놓고 기도를 합니다. 아이들은 자기 방석이 어디 있는지 묻고, 메카가 어디에 있는지 묻습니다. 여기서는 메카가 서쪽 방향에 있겠군요. 아이들이 이렇게 묻는 것들에 대해 오늘날의 교사는 잘 신경써야 합니다.

 

이러한 것들을 개념적인 특성이라고 말합니다. 개념적인 특성이라고 할 때 이 숫자는 어떠한 의미를 가지는지 얘기할 수 있습니다. 전형적인 한 예로서, 여섯 개의 팔다리가 달린 아이가 태어났습니다. 그 어머니에게는 충격적인 일이겠지요. 숫자를 공부할 때는 아주 전형적인 것을 들어야 할 것입니다. 여섯 개의 팔다리가 달린 경우는 특이한 경우입니다.

 

2학년에서는 인간의 눈이 2개, 귀가 2개, 코와 입이 1개 있는 것을 말합니다. 동물도 그렇지요. 그런데 곤충의 경우 전체가 눈처럼 보이기도 합니다. 돌고래도 눈이 2개 있는데, 그래서 배 위에 있는 사람들을 명확히 볼 수 있습니다. 말도 눈이 2개 있지만 말에게는 흥미로운 사실이 있습니다. 일반적으로는 2개의 눈으로 하나의 초점을 맞추지만 말은 그렇지 않습니다. 새들도 그럴 수 있습니다. 새가 항상 고개를 갸우뚱하면서 어딘가를 보는 모습을 볼 수 있습니다. 이렇게 다양한 모습으로 숫자가 있는데, 아주 다채롭고 다양한 의미를 내포한 것이 숫자입니다. 5라는 숫자를 얘기하다가 어떤 아이는 선풍기 날개를 가리키면서 저것도 5개라고 할 수 있습니다. 하지만 그건 전형적인 것이 아닙니다. 사람에게 눈이 2개인 것은 전형적입니다. 사과가 5개 있다는 것도 전형적인 것이 아닙니다. 4개 있을 수 있고, 6개 있을 수도 있지요. 하지만 사과를 옆으로 잘라내면 5각별이 있는데, 이것은 전형적인 것입니다.

 

두 번째는 리듬적인 특성으로서 수에 대해 공부를 합니다. 여기서 교사들은 연습이 필요합니다. 한 아이에게 물어봅니다. “너 2가 되고 싶니?” 아이는 그 의미를 모릅니다. 여러분, 혹시 2가 되고 싶은 분이 있나요? 하나 둘(쿵)! 하나 둘! 하고 책상을 쳐보세요. 아주 강하게, 약하게, 그리고 (끝). 나중에는 조용히 해서 마무리해야 하는데 안 그러면 아이들이 날아다녀요. 누가 3이 되보겠습니까? 하나둘 셋(쿵)! 하나둘 셋! 아주 명확하게 책상을 쳐봅니다. 이쪽은 2를 하고 저쪽은 3을 해주세요. 자, 이제 해보겠습니다. 숫자는 리듬입니다. 처음에는 모두 같이 합니다. 하나 둘! 하나 둘! 하나 둘! 세게 하다가 점점 약하게. 이번에는 삼박자. 하나둘 셋! 하나둘 셋! 이번에는 2와 3이 동시에 진행합니다. 그렇게 쉽지는 않습니다. 서로 조절해주세요. 저는 6까지를 세어봅니다. 언제 함께 옵니까? (6) 리듬은 정확한 순간에 함께 들어가고 나오는 것입니다. 그네를 타듯이 왔다가 갔다가 하는 것입니다. 들립니까? 이 리듬이 들립니까?

 

두 사람이 짝을 지어 해보겠습니다. 한번 들어보세요. 이 두 명만 해볼 겁니다. (잘 안 되니까) 하하, 잘 해보세요. 예, 이제 됐어요. 함께 할 때는 잘 되다가 개별적으로 하면 잘 안 되기도 합니다. 전체가 함께 하다가 이렇게 그룹을 지어서 하기도 합니다. 아주 멋진 리듬이 만들어졌습니다. 2와 3을 하고, 2와 5도 하고, 경우에 따라서는 3과 5도 할 수 있습니다.

 

발도르프학교의 방법론에서 이것은 분수를 위한 준비이기도 한데, 자세히 풀어헤치기 전에 먼저 간단한 것을 해보는 것입니다. 나중에 오는 분수와 연관이 되는데, 2와 3에서 6이 오는 것은 나중에 통분하는 것을 통해 알 수 있습니다. 1/2 + 1/3 = 3+2/6 = 5/6. 1/2의 분모가 6이 되려면 분자가 3이 되어야 하고, 1/3의 분모가 6이 되려면 분자가 2가 되어야 하지요. 1/2 + 1/5 = 5+2/10 = 7/10. 이것이 바로 전형적인 발도르프학교의 수업방법입니다. 앞에서 2와 3이 6에서 만나는 것은 준비과정이라 할 수 있고요, 분수는 나중에 연관되어 배우는 것입니다. 모든 학생이 모든 가능한 것을 해볼 수 있다는 것도 발도르프학교의 수업방법입니다.

 

아주 조심스럽게 아이들의 발달과정에 대해 얘기해보겠습니다. 이 분수과정은 몇 학년에서 합니가? (4학년) 왜 그렇습니까? 왜 4학년에서 분수를 합니까? 그 시기의 아이들은 만 9~10세 사이의 연령입니다. 아직 발도르프교육학적으로 완전하게 설명하지 않았는데요, 이러한 이해는 아주 중요합니다. 이것이 발도르프교육입니다. 이 시기는 루비콘의 강을 건너는 시기라고 책에 나오지만 설명은 없습니다. 도나우강을 얘기할 수도 있는데, 어찌됐든 설명은 아직 없습니다. 9~10세 사이에는 무슨 일이 있습니까? 외형적으로는 전-사춘기 단계입니다. 사춘기의 시작이라고 말하는 시기인데, 왜 그런가요? 한 아이가 집에 돌아오지 않아 학교로 전화가 왔습니다. 아주 안 좋은 일이 있어요. 제 아들은 제가 갖고 있는 상식에 항상 반대되는 모습을 보였습니다. 그 아이의 아버지는 대학교수였고, 저는 초임교사였습니다. 그분이 물었습니다. 무엇이 문제인가요? 제가 말했습니다. 우선 그 아이와 이야기를 해봐야겠습니다. 또 한 아이의 어머니가 전화했습니다. 얘는 항상 문을 열어놓고 잠을 자는데, 어느 순간부터 문을 꽉 닫고 잠을 잡니다. 한 어머니는 또, 자기 아이가 밥 먹으러 나올 때 항상 조금씩 늦게 나온대요. 그리고 한 여학생이 이렇게 물어보기도 합니다. 엄마, 정말 내가 엄마 딸 맞아요?

 

여학생들이 모여 있는데 제가 학교에서 옵니다. 대체로 교사들은 거기에서 어떤 일이 일어나는지 잘 모릅니다. 학부모회의를 위해서 사전에 3명이 먼저 모여서 이야기를 나누었습니다. 거기에서 “무슨 일이 있는지 잘 모르겠네요” 하고 의아해 하는 상황이었습니다. 한 어머니는 자기 아이에 대해 평범하게 다룰 수 없는 상태이고요. 아주 용기 있게 어머니들은 자기 아이의 상황에 대해 다 이야기 했습니다. 아주 흥미진진하고 시끄러운 반모임이 되었어요. 그래도 다행이라고 생각한 것은 나만 그런 문제에 빠진 게 아니라 많은 사람이 같은 문제에 빠졌다는 안도가 있었습니다. 그런데 회의 중 “그렇다면 이 아이들의 선생님은 누구입니까?” 하는 질문이 나왔어요. 이것은 실재와는 거리가 있는 이야기라고 봅니다. 3학년까지 전혀 다른 세상에서 살았던 아이들은 아닙니다. 그런데 갑자기 떨리는 상황에 왔는데요, 아이들은 자기 부모가 진짜 부모 맞는지 물어봅니다. 이제는 모든 것이 확실하거나 안전하지 않습니다. 이처럼 안전하지 않고 현실과 동떨어진 듯한 상황 속에서 분수라는 것이 제안되고 있습니다. 영혼적으로 분리감, 거리감을 느끼는 상황 속에서 분수가 등장하는 것입니다.

 

누가 질문을 던지지도 않았고 관심도 없는데 대답을 한다면 사이비처럼 느껴지지 않겠습니까? 마치 안경에 대해 아무도 묻지 않았는데 안경의 발달에 대해 말하는 것처럼요. 학생들을 가르치는데 학생들의 상태를 고려하지도 않고 수업을 한다면 사이비와 다를 게 뭐가 있습니까? 아이들의 영혼상태에 맞는 것을 이야기하고 고려해야 한다는 것입니다. 이런 과정이 교사들의 과제입니다. 이 주제를 너무 일찍 하면 어떻게 되는가? 너무 늦게 도입을 하면 또 아이들에게는 지루해지게 되겠지요. 이것이 바로 교육에서 가장 어려우면서도 중요한 문제라고 할 수 있습니다. 그렇기 때문에 4학년에서는 분수라는 것을 하는 것입니다.

 

이번에는 3번째 수학적 과제를 살펴보겠습니다. 왜 5 더하기 7은 12가 되는 겁니까? 왜 7 더하기 12는 19가 됩니까? 그러면 아이들은 무슨 일이 있을까? 하고 쳐다봅니다. 7 더하기 12가 19가 되는 것을 어디서 압니까? 옛날에는 주산기가 있어서 알을 옮기면 19가 되는 것을 알 수 있었는데요. 이렇게 물질적인 것을 가지고 계산하는 것은 더 나아갈 수가 없습니다. 그래서 현재에는 물질적인 교육을 더 이상 하지 않습니다. 이렇게 물질적으로 5개, 7개 더하는 게 12개다, 이런 방식은 잘못되었다고 할 수 있는데, 왜 잘못된 것일까요? 개수를 세는 것에서 손가락을 접어서 하는 아이들은 나중에 셈을 할 때 어려움을 겪습니다. 그러면 어떻게 셈하기로 옮겨옵니까? 아주 중요한 문제입니다. 이것이 잘 안 될 경우에는 완전히 포기를 하거나 흥미를 잃을 수 있습니다. 바로 이 지점에서 출발하는 것입니다. 요즘 들어서는 특히 국제적으로도 공통인데, 60%가 넘는 아이들이 셈하기를 어려워한다고 보고되고 있습니다.

 

조금 전에 셈하기의 기능에 대해 이야기했는데요, 셈하기에 관한 심포지엄에 참여했는데 세계의 60% 정도 되는 사람들이 계산에 어려움을 갖고 있고, 수학을 포기하는 것을 볼 수 있습니다. 수학은 내 것이 아니야, 하고 멀리하는 사람이 많습니다. 그렇다면 누가 이런 과제를 풀어낼 수 있을까요? 어린이들은 조그만 주머니에 밤이나 도토리를 갖고 있습니다. 사탕을 넣으면 금방 없어지니까 안 되고요. (웃음) 모든 사람이 그걸 꺼내서 12개를 맞춰봅니다. 여기에서 아주 중요한 상황이 옵니다. 어떻게 아이들이 12라는 숫자를 알게 됩니까? 사람들은 이 질문에 대해 전혀 생각해본 적이 없습니다. 지금 연습을 하는 것입니다. 6개, 9개. (책상을 두드리며) 6개. 또 다른 리듬으로 옵니다. 7개. 그런데 어떤 어린이는 아직도 이해를 못합니다. 그래서 등 뒤에 대고 여기저기 콕콕 찍어줍니다. 6개. 이렇게 아주 다양한 방식으로 수를 세봅니다. 이번에는 사과씨를 입속에 넣고 몇 개인지 맞춰보는 것도 좋은 방법이겠지요. 그런데 어떤 아이는 아직도 12라는 숫자를 세는 능력이 부족할 수 있습니다. 저글링을 하면서 내가 몇 개를 하는지도 연습을 합니다. 이런 식으로 자기 능력으로 몇 개를 하는지 알지 못하면 할 수 없지요. 실제로 셈하기를 어려워하는 아이는 수를 세는 걸 잘 알지 못합니다. 다양한 리듬으로(딴딴딴 딴딴딴 딴딴딴 딴딴딴) 이렇게 수를 세는 것이 중요합니다. 점점 교실에서는 아이가 지적인 사도가 되어갑니다. 뭘 하기 전에 아이가 이미 알고 있고 다른 친구를 도우려고 합니다.

 

2개의 단위에서 합쳐지는 것에 대해 봅니다. 하나의 바구니에는 3개가 있고, 다른 바구니에는 9개가 있는데 합치면 12개입니다. (12 = 3 + 9) 6 + 6의 바구니도 있구요, 5 + 7의 바구니, 1 + 11의 바구니 등 아주 다양하게 있습니다. 이렇게 종합된 숫자의 합이 전체에 만들어질 수 있습니다. 이런 과정을 통해서도 12라는 숫자를 잘 이해할 수 있습니다. 12라는 숫자를 잘 알고 있는 아이들은 3 + 9 = 12라는 것도 잘 알 수 있습니다. 발도르프교육은 방법론적으로 자유를 향한 교육이라고 할 수 있는데요, 자유를 향한 교육은 아주 멋진 말이지만 어떻게 그것을 할 수 있습니까? 12라는 숫자가 어떻게 다양하게 나타날 수 있는지를 알 수 있는 게 자유입니다. 2 + 10은 12가 올 뿐입니다. 12 = ( )+( ) 이렇게 12가 무엇과 무엇의 합인지 찾는 것과 다릅니다.

 

이렇게 초기의 수학에서는 숫자와 셈하기를 명확하게 익혀야 합니다. 다음으로 곱하기가 올 수 있는데요, 전체에서 나오는 것을 꺼내보는 것입니다. 여기에서 아주 멋진 사고를 형성하는(기억력) 연습이 있습니다. 스스로 하기는 어렵기 때문에 우리가 교육을 하는데요. 사고형성의 방법론은 어떤 것입니까? 이것이 바로 교육학의 질문이기도 하지요. 24 = .

 

아이들이 어떻게 하는지 봅시다. 24에 들어있는 가장 작은 수가 뭡니까? (1) 저는 2부터 해보겠습니다. 2*12=2*2*6=2*2*2*3 이렇게 하지는 않겠지만 한 번 밝혀볼게요. 24=2*12라는 것에서 사고하는 것이 벌써 들어갑니다. 앞에서는 칠판에 과정을 쓰면서 했지만 이번에는 머릿속에서만 하겠습니다. 24=2*2*( ) 2 곱하기 12는 2 곱하기 2 곱하기 뭐가 되어야 하나요? 2 곱하기 2 곱하기 2 곱하기 뭐가 들어가야 하나요? 84는 2 곱하기 42, 머릿속에 있어요. 42는 또 2 곱하기 21. 21도 잘 간직해 보세요. 21은 3 곱하기 7. 이 과정을 잘 보면 상당히 리듬적입니다. 자기 안에서의 사고과정인 것이죠. 아주 고대의 지혜로운 금언 중에는 ‘리듬에서 힘이 나온다’라는 말이 있습니다. 오늘날 많은 사람이 지치고 힘들어하는 것은 그 안에 리듬이 없기 때문입니다. 어린이들이 이렇게 리듬적인 방식으로 배우고 생활하게 되면 그 안에 엄청난 힘을 갖게 됩니다. 아주 멋진 사고를 배워가는 과정을 익히는 것입니다.

 

이렇게 셈하는 과정으로 넘어갔습니다. 7 10 20 13. 이렇게 숫자를 써보았습니다. 아주 중요한 문제인데요, 어떻게 7이 10이 됩니까? 거꾸로 10이 어떻게 7일이 됩니까? 7 + 3 = 10. 줄을 맞춰가며 써봅니다. 아주 중요한 연습입니다. 여기에는 또 흥미로운 과정이 옵니다. 20이 되려면 두 가지 방법이 있습니다. 아이들은 여기서 또 다시 덧셈이 되겠지만 어떤 아이는 곱하기를 하기도 합니다. 10*2=20. 다음 단계에서 20에서 어떻게 해야 13이 됩니까? 빼기 7을 해야겠지요. 20-7=13. 아주 리듬적이고 구조적이지요. 성의 없이 쓰거나 아름다운 규칙성을 보여주지 않으면 아이들은 셈하기를 싫어합니다. 공책에도 아주 멋지고 아름답게, 정성스럽게 쓰는 것이 필요하겠지요. 그러면 고쳐쓸 필요도 없겠지요. 이것을 다 종합해서 맨 밑에 (7+3)*2-7=13. 이렇게 씁니다. 3학년에 할 수 있는 과정이지요.

7 10 20 13

7+3 = 10

10 * 2 =20

20 - 7= 13

(7 + 3) *2 - 7 = 13

 

첫 번째는 연습이고, 두 번째는 상상력을 갖고 연습해 봅니다. 두 번째 단계에서는 상상력을 더 풍부하게 해서 7 다음에 어떤 과정을 거쳐 1이 나올 수 있게 하는지 물어봅니다. (7+5)*2-23=1. 이런 것들이 온전한 계산법이 될 것입니다. 보색적인 계산법입니다. 이렇게 보충적인 계산에는 항상 사칙연산이 다 같이 오면 좋습니다. 암산을 한 번 해보겠습니다. 칠판에는 아무것도 쓰지 않구요. 여기서는 리듬적인 말이 중요합니다. 2 더하기 3에 곱하기 7을 하면 뭐가 됩니까? (35) 이것은 보이지 않는 계산입니다. 이제 오감으로 숫자를 볼 수 없지요. 이 숫자는 우리에게 감각적인 것으로 제안된 게 아닙니다.

 

7이라는 숫자가 있는데, 시내에 나가서 7이 어디 있냐고 물으면 누가 대답하겠습니까? 여기서 7은 정신적인 것입니다. 그래서 수학은 정신과학이라고 할 수 있습니다. 수학을 배우는 것이 왜 중요합니까? 여기는 이견이 없습니다. 딱 떨어지기 때문에 다른 의견이 들어갈 수 없습니다. 수학 자체는 민주주의적이지 않습니다. 정신적인 것은 토론할 것이 아니라 분명하게 인식해야 하는 것입니다. 계속 토론하고 또 토론하다보면 정신적인 것은 사라지게 되지요. 그래서 교사회에서도 항상 문제가 됩니다. 계속 토론하고 토론하다보면 정신적인 것이 사라지게 됩니다. 토론을 하더라도 정신세계의 것을 가지고 토론해야 합니다. 수학에서는 당파가 없습니다. 이론이 없습니다. 논쟁이 없습니다. 단지 이해를 못할 경우가 있습니다. 아이들이 이런 경험을 하는 것은 전혀 다른 세상의 경험을 하는 것입니다. 서울에 가셔서 길거리에서 이렇게 세는 것을 본 적이 있습니까? 숫자를 가지고 이렇게 세는 것은 볼 수가 없습니다. 아이들이 일찍 이런 경험을 하게 되면 좋은데, 1학년부터 3학년까지의 셈하기 과정을 이렇게 합니다. 이것은 이 시기에 아주 중요한 일입니다.

 

이제 분수로 오겠습니다. 5학년이 되면 1/20+1/36+1/45+1/72+1/84은 무엇인지 찾아야 합니다. 여기서 공통되는 숫자를 찾아야 합니다. 분모를 모두 씁니다. 그리고 2라는 숫자를 가져옵니다. 45는 계속해서 2와 맞아떨어지지 않습니다. 이번에는 3을 해봅니다. 항상 두 개 이상의 공통되는 인수를 해야 합니다. 다음에도 3이라는 인수를 꺼내봅니다. 다음에 5를 해봅니다. 세 개의 2가 나오고요, 두 개의 3, 한 개의 5, 한 개의 7이 나옵니다.

 

20 36 45 72 84

10 18 45 36 42 / 2

5 9 45 18 21 / 2

5 3 15 6 7 / 3

5 1 5 2 7 / 3

1 1 1 2 7 / 5

 

20=2*2*5를 알고 있었습니다. 20에는 2,2,5를 제외한 나머지 인수들을 곱해주어야 합니다. 36=2*2*3*3이므로 나머지 숫자들을 곱해줍니다. 셈하기가 아직 자신 없는 아이들은 이런 방식으로 접근합니다. 45=3*3*5, 72=2*2*2*3*3. 아까 했던 과정들이 다 들어있지요. 사고하기의 리듬이 있습니다. 84=2*2*3*7 이렇게 되지요. 그러면 남아 있는 숫자가.

 

2*3*3*7 + 2*5*7 + 2*2*2*7 + 5*7 +2*3*5 / 2*2*2*3*3*5*7

= 126+70+56+35+30 / 2520

= 317 / 2520

 

이렇게 나온 숫자는 약분을 안 해도 되는 건가요? (예) 317이라는 숫자가 소수-더 이상 나눌 수 없는 수-입니까? (예) 101이 소수입니까? (예) 교사로서는 잘 알고 있어야 합니다. 그 안에 인수가 자기 자신과 1 외에 들어갈 수 없는 게 소수입니다. 그러면 얘기해봅시다. 13이 인수가 될 수 있습니까? (아니오) 완전히 약분할 수 없다는 게 확인이 되면 밑에 얇은 두 줄을 그어서 결과를 나타냅니다. 약분할 때는 경우에 따라서 복잡한 문제가 올 수도 있습니다. 86/129는 약분할 수 있나요? (43으로 할 수 있습니다) 독일에서는 4분 정도 걸릴 겁니다. 2/3이 됩니다. 76/95=4*19/5*19=4/5입니다. 112/252는 어떻게 약분이 됩니까? 딱 보면 2가 공통적으로 들어간다는 것을 아니까 2*56/2*126=56/126=4/9

 

이것은 가장 셈하기를 어려워하는 아이들에게 접근하면 좋을 방법입니다. 하위감각에는 촉각, 균형감각, 생명감각, 고유운동감각 등이 있습니다. 여기서는 인간학을 또 공부해야 하는데요. 이 네 가지 하위감각은 수학에서 굉장히 중요한 척도가 되는 요소입니다. 경직되고 마비되는 경향이 있어서 부드럽게 움직이지 못하고 급격하게 행동하는 아이가 있습니다. 이러한 경우에는 셈하기를 어려워합니다. 이 경우만 제외하고 아이들이 수학을 어려워하는 것은 전부 다 교사가 잘못해서입니다. 생명감각이 안 좋은 경우입니다. 생명감각이 약한 아이는 학교에 와서 무얼 배우는지도 모르고, 수업시간에 바지에 실례를 하기도 합니다. 수업시간에 자기가 함께 하고 있다는 생각을 못하는 것입니다. 생명감각이 손상되어서 그렇습니다. 교사가 그런 것을 감지하지 못한다면 아이에게는 아주 어려워집니다. 다행히 교사가 그걸 감지하고 그걸 해결한다면 아주 잘 해낼 수 있습니다.

 

한 아이가 있었는데, 다음 주에 수학을 하겠다고 하니까 오줌을 쌌습니다. 수학수업이라는 말만 하면 부들부들 떨 정도였는데요, 셈하기에 어려움을 겪는 한 유형을 ‘Dyskalkulic’이라는 유형이 있습니다. 독일에는 이러한 아이들을 돕는 연구소가 있습니다. 여기서는 아이에게 아주 똑바로 서서 앞으로 여섯 걸음을 걸어가라고 얘기합니다. 네 걸음을 오른쪽으로 가라고 합니다. 그러면서 공간지각능력을 발달시켜 줍니다. 슈타이너는 정신적으로 정돈된 오이리트미를 하는 것이 이러한 과제를 해결해준다고 말했습니다. 막대기로 연습하는 오이리트미가 있지요. 이것은 모든 아이들에게도 당연히 도움을 줄 것입니다. 그렇지만 여기서 항상 주의해야 할 것은 아이들이 그것을 함께 가져가느냐입니다. 이미 시간이 넘었네요. 오늘은 이것으로 충분한 듯합니다. 내일 또 이어서 하겠습니다.

 

(칠판에 교사가 글씨를 쓸 때는 천천히 아름답게 써야 한다고 오전에 말씀하셨습니다.)