수학, 어떻게 배울 것인가? - 게오르그 글렉클러

수학, 어떻게 배울 것인가?

 

강사 : 게오르그 글렉클러 선생님

통역 : 이은하 선생님

 

사랑하는 부모님들, 너무 좋은 저녁에 만나 뵙게 되어 반갑습니다. 안타깝게도 한국어를 할 줄 몰라요. 그래서 다 통역으로 이루어질 수밖에 없는 상황입니다. 통역을 통해서라도 여러분들이 약간 얻어 가실 수 있기를 바랍니다. 수학 영역에 대해서 강의하는 내용은 쉽게 통역될 수 있는 내용들이 아닙니다. 그래서 통역하는 사람이 잘 통역을 해 주시기 바랍니다.

 

강의를 하기 이전에 수학과 관련하여 여러 분야에 대해서 질문들을 많이 써 주신 것들을 읽어 보았습니다. 그 중에 한 가지는 발도르프 학교에서 수학과목의 목적은 무엇인가였습니다. 대학에서 수학을 전공한다는 것은 학교에서 수학을 공부하는 것과는 완전히 다른 것입니다. 무언가 수학을 전공하면서도 충분하지 않았다는 것을 매번 느끼고 있는데요, 기계학과 관련된 것도 전공했는데요, 수학은 이 세상에서 여러 생활 분야에 아주 골고루 다양한 분야에서 적용되고 있는 것을 알 수 있었습니다. 의학을 예를 들어 볼게요. 의학에서는 보통 병에 대학 통계적인 연구들이 진행되고 있지요. 지난 시간 동안 그것과 관련해서 작업을 했습니다. 예를 들면 어떤 병에 어떤 약을 써야 하는지... 예를 들면 의사들은 이렇게 얘기를 해요. 이 약을 사용하면 당신은 한 5% 정도, 몇 퍼센트 정도 좀 늦게 죽을 수 있습니다. 의학을 공부하는 사람들, 의사들은 잘 알고 있습니다. 통계라는 것이 어떤 역할을 하는지. 하지만 수학에서 통계라고 하는 것은 그리 간단하지 않습니다. 예를 들면 주사위를 던져서 6이 나올 확률을 통계적으로 계산한다면 간단하지 않겠지요. 예를 들면 주사위를 던져서 6이 나올 가능성은 굉장히 희박해요. 어떤 사람이 던져서 6이 나올 확률은 굉장히 드물죠. 근데 여러분이 두 개의 주사위를 굴려서 6을 나오게 한다면, 두 개의 주사위를 던져서 두 개가 똑같이 6이 나올 가능성은 더욱 더 희박하죠. 6더하기 6 혹은 6곱하기 6이 나올 확률이요. 여기서 숫자와 관련된 작업들이 이루어진다는 것을 알 수 있겠지요. 만일 이것을 확률적으로 표현한다면 6분의 1 곱하기 6분의 1로 표현해 볼 수 있을 것입니다. (칠판에 쓴 1/36을 가르키며)이 확률이 나오겠지요.

 

오늘날 이런 질문들을 해 볼 수 있습니다. 도대체 이런 것들을 무엇을 위해서, 우리 생활에 무엇을 위해서 배우지 하는 질문을 할 수 있습니다. 기본적인 질문을 드려볼게요. 어떻게 교육을 할 수 있을까? 발도르프 학교에서 항상 질문을 던지는 것 중에 하나가 ‘어떻게 교육을 시킬 것인가, 어떻게 교육을 할 수 있을 것인가?’ 입니다. 교육, 이후의 삶, 앞으로 살아갈 삶을 위해서 어떻게 교육할 것인가를 계속 질문해야 합니다. 수업에서 여러 명의 학생들을 앞에 놓고 수업을 합니다. 예를 들면 한 학급에 25명 정도의 학생들이 있습니다. 오늘 10학년에서 아주 간단한 방정식을 하는 것을 참관했습니다.

y=2x+3 여기서 질문을 하나 드리겠습니다. 그러면 10학년에서 이것을 배운 이 학생들이 40살이 되었을 때 도대체 이것을 가지고 무엇을 할 수 있을까요? 이것이 삶을 사는데 필요할까요? 수학에서 석사학위를 딴 사람에게 물어봤습니다. 이 사람이 얘기하기를 “내가 수학에서 배운 60 내지 70% 정도의 내용은 사실 삶을 살면서 전혀 필요하지 않았다”고 했습니다. 그렇다면 각 교사들에게 스스로 이런 질문들을 던져보도록 해야겠지요. 도대체 내가 가르치고자 하는 내용의 가장 핵심적인 내용, 본질적인 내용은 무엇인가?

 

과거의 시간으로 넘어가 보겠습니다. 프랑스에 있는 샤르트르라고 하는 성당에 가 본 적이 있습니다. 파리에 있는 성당입니다. 저 성당에서는 예전에 일곱 개의 예술 과목들을 가르쳤습니다. 한쪽에 칠판이 있었는데 그 칠판에 다음과 같이 쓰여 있었습니다. “이것이 모든 학문의 기본(기초)이다.” 하고. 이것을 모르면 어떤 학문도 시작할 수 없다. 이게 도대체 무엇일까요? 셈하기(산수)입니다. 숫자와 관련된 영역이죠. 수를 셈하는 것, 이런 것들을 배웠는지 스스로에게 질문해 보세요. 숫자와 관련해서 이러한 계산을 어디서 배우나요. 현대에서는 누구나 이런 것들을 배우지요. 하지만 이것을 가지고 무엇을 할 것인지에 대해서 배웠나요? 내가 이것이 도대체 어떻게 사용되고 있는지, 이것이 무엇에 사용되고 있는지 모른다면 사람들은 쉽게 다른 사람들에 의해서 조작될 수 있습니다. 인간의 자유란 무엇인가, 자유로운 인간이란 무엇인가에 대한 아주 기본적인, 중요한, 본질적인 질문이 되겠지요. 중요한 지점입니다, 이것이. 내가 어떠한 일과 어떠한 사건 내지는 배운 것과 아주 내면적으로 잘 길들여져 있거나 내면적으로 어떤 상을 잘 갖추고 있지 않다면 그것과 연결되어 있다고 할 수 없습니다.

 

셈하기(산수) 그리고 두 번째는 기하학입니다. 여러분들은 주사위, 육면체는 다 아시죠? 12면체는 다 아시나요? 여러분들이 이걸 다 알고 계시나요, 십이면체가 무엇인지? 이 십이면체로 결정체가 이루어지고 있는 것이 있는데 화강암이 그렇지요. 이런 모양으로 결정체가 이루어지는 붉은 색의 결정체 크리스탈을 아시나요? 이 결정체는 십이면체로 이루어진 결정체의 모양을 가지고 있습니다. 이것이 무엇인지 모른다면 어떠한 것조차도 판단해 낼 수 없습니다. 라이프니츠라고 하는 아주 위대한 철학자가 있지요. 더 높은 차원의 산수라고 하는 것은 음악이라고 얘기했습니다. 높은 차원의 기하학이라는 것은 천문학이라고 얘기했습니다. 현대의 교육이라고 하는 것은 이 네 가지 기초학문을 바탕으로, 다 알고 있어야 한다는 것을 전제로 하고 있습니다. 여기에 적혀 있는 네 가지가 바로 발도르프 학교에서의 가장 기본적인 교과가 될 수 있습니다. 여기의 네 가지가 전부 학문의 기초라고 할 수 있습니다. 여기에는 물론 플라톤 학파의 가장 기본적인 철학도 담겨져 있지요. 여러분들이 이탈리아의 플로렌스에 가면 휘치노 학파의 흔적들을 찾아볼 수 있습니다. 여러분은 물론 제가 유럽에서 왔다는 것을 알고 계시지요. 그 유럽에서는 항상 이런 질문을 가지고 있어요. 내가 공부하는 이 학문이 내 삶에 도대체 어떠한 의미를 가지고 있는가? 어떠한 것을 의미하는가? 오늘날 수학을 공부하는 사람들은 이 네 가지 중에 약간의 것을 가지고는 있어요. 예를 들면 산수 이 영역에서는 무언가를 배웠다고 할 수 있지요. 그리고 이 각각의 분야에서 어떤 조그만 것들을 수학적인 분야로 가져와서 배웠다고 할 수는 있겠지만 네 가지를 전부 다 골고루 배웠다고 할 수는 없습니다.

 

기하학은 아주 위대한 학문이지요. (칠판에 전시된 기하학 그림을 가리키며) 여기에 그려져 있는 기하학적인 그림은 생물학을 위해서 필요한 그림입니다. 도대체 이 기하학이 생물학에 필요하다는 것을 아는 수학자가 몇 명이나 될까요. 여기에 그려져 있는 그림들은 투사기하학인데 한 학생의 작품입니다. 12학년 학생의 작품입니다. 나중에 자세히 여기 와서 보세요. 얼마나 공들여진 작품인지. 이것들을 순서대로 보시면 무언가가 안에서부터 밖으로 생성되고 이것이 다시 안을 향했다가 다시 밖으로 생성되는 과정을 보여주고 있습니다. 여기서 보여주고 있는 노란색은 태아의 형태를 가지고 있어요. 여기에 태아의 형태를 보면, 변형된 형태를 보면 무언가 뒤집혀져 나오는 형태를 가지고 있어요. 발생학에서 보면 모든 산모들이 아이를 잉태하고 있을 때 태아가 발생하고 있는 과정들 속에 아주 기본적인 중요한 발달단계인 것입니다. 아시아에서 이러한 기하학을 배우고 있는 학교는 아직 본 적이 없는 것 같습니다. 투사 기하학이라는 것을 가르치고 있는 학교는 아시아에 없습니다. 발도르프 학교의 12학년에서 볼 수 있는 과정입니다.

 

기하학에 대해서 익숙하게 된다면 아주 간단한 것을 가지고 여러분들에게 설명드릴 수 있을 텐데요. 예를 들면 삼각형의 내각의 합이 왜 180도일까요? 여기서도 학생들이 이것에 대해서 배우고 있지요. 하지만 수학이라고 하는 것이 무엇인지 이 과정을 통해서 알아볼 수 있을 텐데요. 삼각형 내각의 합이 180도라는 것을 저는 증명할 수 있습니다. 이것은 하나의 의견이 아니라 증명인 것이지요. 이것이 수학에서의 아주 본질적인 특성이라고 할 수 있습니다. 수학에서는 의견, 개인적인 생각이 있을 수 없습니다. 아주 놀랄만한 일이지요. 여기에 대해서 ‘왜 그러지?’라고 생각해 볼 수 있습니다. 예를 들면 어떤 한 사람이 자기 고유의 의견을 가지고 있다면 그 의견을 가지고 정당을 만들 수 있을 거예요. 하지만 하나의 의견이라는 것을 통해서 자유로운 인간이 될 수는 없습니다. 굉장히 오랫동안 생각해 보아야 할 문장입니다, 지금 말씀 드린 것은.

 

아주 간단한 예를 들어 볼게요. 2+3=5 라는 예를 들어 볼게요. 여기에서는 어떠한 의견이 있을 수 없습니다. 어떤 사람이 과연 “2더하기 3은 5가 아니라 6입니다”라고 할 수 있을까요? 이 수학적인 과제에서는 “나는 저것을 알고 있어” 혹은 “나는 저것에 대해서 잘못된 생각을 가지고 있어”라고 할 수 있을 뿐이지요. 자유로운 인간은 어떠한 것의 연관성을 잘 알고 있는 사람입니다. 자유로운 인간이라는 것은 어떠한 사실에 있어서 특별한 고유의 의견을 가지고 있다는 것을 뜻하지 않아요. 저는 수학자인데요, 수학자로서 어떠한 고유한 의견, 생각을 가지고 있는 사람이기도 하지요. 하지만 고유한 의견을 가지고 있다고 했을 때 이것을 가지고 내가 수학자로서 어떠한 고유한 생각을 가지고 있다면 그것은 내가 자유로운 인간이 아니라고 할 수 있어요. 이 지점은 굉장히 중요합니다. 젊은이로서 이러한 생각을 경험할 수 있도록 하는 것이 굉장히 중요합니다. 인간을, 도대체 내적으로 자유로운 인간으로 어떻게 길러낼 수 있을까요? 그 내적인 자유로움을 통해서 독립적이고 자율적인 인간이 되도록 하려면 어떻게 해야 할까요? 2+3=5라고 하는 이 수학적인 사실에서 어떠한 누구도 여기에 대해서 반대 의견을 낼 수는 없을 것입니다. 수학자로서 어떤 한 가지를 아주 확실하게 이해할 수 있는 단계에 이르러야 합니다.

 

다시 삼각형의 예로 가 볼게요. 삼각형의 내각의 합이 왜 180도일까요? 아주 간단하게 한번 해 봅시다. 한 6학년, 7학년 단계에서 얘기해 볼게요. 여러분 모두가 다 이해할 수 있는 정도로 설명해 볼게요. 제가 이것을 아이들에게 수업을 한다고 가정하면서 아이들에게 이 각각의 각도를 재보도록 할 것입니다. 알파 베타 감마의 각도를 재보게 할 거예요. 알파의 각도가 30도라면, 그리고 베타의 각도가 46도라면 그렇다면 감마의 각도는 얼마일까요? 아주 정확하게 쟀을 수도 있겠지만 오차가 있을 수 있어요. 감마를 재봤을 때 103도 정도가 나올 것이라고 재볼 수 있겠지요. 7학년 정도의 과정이예요. 아주 중요한 순간이 이제 오는데요. 여기서 각도를 재보았지요. 아마 실비아라는 학생은 또 다른 모양의 삼각형을 과제로 받았을 거예요. 알파의 각도는 46도, 베타는 91도, 감마는 몇 도 정도 될까요? 아마 41도, 더 정확하게는 41.5도라고 잴 수 있을 것 같아요. 그리고 프리츠라고 하는 다른 학생도 아마 자기의 삼각형 과제를 가지고 있을 거예요. 이 과제들을 할 때 아주 천천히 한 30분정도 걸릴 수도 있어요. 자, 이제 이것을 계산을 해 봅시다. (첫 번째 삼각형의 내각의 합을 더하면) 179도 라고 쟀을 거예요. 두 번째 과제는 어떻게 되었을까요. (실비아의 삼각형의 내각의 합을 더하면) 178.5도가 나왔을 거예요. “프리츠 너는 어떻게 계산했지?” 아마 그 학생은 181도라고 재고 계산했을 거예요. 그 다음에 이제 질문을 할 것입니다. “너희들 무언가 알아챘니? 이 과정에서?” 누구든지 각도를 재볼 수 있을 거예요. 하지만 누구도 정확하게 재 볼 수는 없을 것입니다. 이 과정이 아주 흥미로울 수 있는데요, 모두가 각각 재 볼 수는 있지만 어느 누구도 정확하게 재지는 못할 것입니다. 하지만 사고, 생각을 통해서는 할 수 있습니다. 오늘날 굉장히 문제가 되고 있는 과정인데요, 오늘날에는 무엇이든지 다 생각해야지만 나온다는 것이죠. 인간은 누구든지 다 생각하지만 그 생각이 다 이루어지지는 않는 상황이 오지요. 내가 무언가를 생각한다면 어떠한 것이 떠올라야 합니다. 아이들에게 이 각각의 과제를 내 주고 재보라고 한다면 다 다른 답이 나올 거예요. 그러다가 180도라고 대답하는 아이도 나올 것입니다. 이것은 수학에서 그렇게 중요한 것은 아니에요. 수학에서 중요한 것은 경험적으로 얻어지는 것이 아니라 생각을 해서 추론해 내는 것이지요. 그러면 이것을 생각을 통해서 삼각형의 내각의 합이 180도라는 것을 증명해 보이겠습니다. (삼각형의 한 꼭지점에 평행선을 그으면서) 여기에 평행선을 그립니다. 많은 예들에서 평행선은 굉장히 중요한 역할을 합니다.

 

(평행선이 그어진 꼭지점이 아닌 나머지 꼭지점의 각을 가리키며) 두 각을 알파, 베타라고 한다면, (평행선을 그은 꼭지점을 가리키며) 이것은 감마 각도입니다. 이 세 각의 합이 전부 합쳐서 몇 도인지 알아보는 과제인데요, 다음과 같은 과정으로 해 보겠습니다. 이 알파 각도는 평행선의 이 각과 같지요. 그리고 베타의 각도는 이 평행선에서 이 각과 항상 같습니다. 이 삼각형에서 삼각형의 세 각은 모두 떨어져 있지요. 하지만 평행선에서는 이 세 각이 하나로 붙어 있습니다. 그러면 여기서 이 각도의 합은 얼마인가요? 180도라는 것을 알아낼 수 있지요. 지금 삼각형의 세 각의 합이 180도라는 것을 증명을 했지요. 증명을 통해서 알아낼 수 있는 것입니다. 측정을 통해서는 알아낼 수 없어요. 이전에 이곳에서 강연을 할 때는 다른 예를 가지고 설명을 했었는데요, (정사각형을 그리며) 여기 사각형이 하나 있지요. 소크라테스가 다음과 같이 제자들에게 얘기합니다. 이 사각형의 딱 두 배가 되는 사각형을 그려보아라. 그러면 어떻게 하나요? 자, 여러분들은 아마 이렇게 해 볼 거예요. (정사각형 옆에 같은 크기의 정사각형을 그리면서) 하지만 이것은 정사각형인가요? 면적은 두 배가 되었지요. 하지만 이것이 정사각형인가요? 두 배는 되었지만 두 배 한 것이 정사각형이 아니지요. 하지만 과제는 이 하나의 정사각형의 두 배가 되는 정사각형을 그리는 것이었습니다. 자 어떤 학생은 이렇게 대답할 거예요. (원래의 정사각형을 포함하여 네 개의 정사각형을 그림-田모양이 됨) “아, 그러면 이렇게 그리면 되지 않나요?”

 

여러분 여기 청중들께 여쭙겠습니다. 앉아서 수학적인 과제를 듣고서 내적으로 이것을 풀려고 움직이는지 아니면 들리는 대로 그냥 듣고 있는지. 이것이 오늘날 매체에 노출되었을 때의 가장 큰 문제점이지요. 매체 앞에 앉아 있을 때 아무것도 생각하지 않고 매체가 주는 대로 받는 경향성을 가지고 있는 것이 현대의 문제점입니다. 오늘날 교사들은 이런 매체에 노출되는 아이들을 만났을 때 아주 어려움을 겪고 있습니다. 여러분들이 일주일에 한 번씩 계속 지속적으로 이곳에 모여서 기하학을 같이 연습한다면 그것이 다른 역할을 하게 된다는 것을 금방 알 수 있을 거예요. 여러분들이 이러한 연습을 통해서 이런 과제들을 해 본다면 이것이 무엇을 뜻하는지 생각해 볼 수 있는 계기가 되겠지요. 저는 아이들 뿐 아니라 어른을 대상으로 해서 기하학을 가르치기도 합니다. 기하학을 한 어른이 저에게 이렇게 얘기했습니다. “선생님 제가 얼마나 다른 사람이 되었는지 아십니까? 지금에서야 저 스스로를 변화시킬 수 있는 사람이라는 것을 깨달았습니다.”

 

첫 번째 대답한 사람은 두 배의 면적을 하기는 했지만 정사각형이 아니었지요. 두 번째 대답한 사람 역시 정사각형을 만들었지만 두 배는 아니었지요. 하지만 점점 풀이 과정이 답에 접근해 가고 있어요. 이 전체 정사각형(田 모양의 정사각형)에서 각각의 반을 떼어 보겠습니다. 두 배라고 여겨지는 것들에서 각각의 반을 쪼개어 낸다면 여기서 무엇을 볼 수 있지요? 이것은 정사각형인가요? 이 정사각형 모양이면서 동시에 이 면적의 두 배라는 것을 알 수 있지요. 여러분들이 이 과정을 통해서 이러한 문제를 해결하려고 노력한다면 이것을 깨닫는다면 여러분들은 자유로운 인간이 될 수 있습니다. 저는 아이들에게 기하학이라는 것이 가장 사랑받는 과목이라는 것을 알고 있습니다. 이 과정에서 저 과정까지 가려면 4년 동안 계속해서 기하학을 배워야 합니다. 발도르프 학교에서 어떠한 미래의 인간을 만들 것인지 계속해서 시작점이 있어야겠지요. 미래를 향한 어떤 것을 만들기 위해서는 시작점이라는 것이 있어야 해요. 여기 네 가지 영역을 다시 한 번 봅시다. 이 네 가지를 다 통틀어서 마테시스라고 불러요. 수학이라고 하는 것은 본질적으로 이 네 가지 영역을 다 통틀어서 일컫고 있습니다. 발도르프 학교에서 이 네 가지 영역이 굉장히 중요한 역할을 하고 있습니다.

 

그럼 한번 다시 자세히 봅시다. 산수(셈하기)라는 것이 어떠한 면에서 음악과 관련성을 가지고 있을까요? 누군가 아시나요? 자, 이제 시작하셔야 합니다. 여러분들 장조에서, 7음계 장조 다 아시죠? 1도 아시죠? 1도 음정? 2도 음정이 이런 소리가 난다는 것 아시죠? 이 2도 음정에서 정확한 숫자적인 관계를 들여다볼 수 있습니다. (입으로 소리를 냄) 이 세 음에서 장3도를 알아채셨나요? 4분의 5가 아니라 5대 4라고 하는 비율이 이 음정들 사이에 숨어 있어요. 소방서에서 들리는 음 있지요? 따딴따단~ 수학자들은 모두가 다 악기를 사랑해요. 음악연주를 좋아합니다. 저도 바이올린을 연주하는데요, 모든 수학자들은 악기를 연주할 수 있어야 합니다. 대학에서도 수학을 공부하는 사람들은 항상 음악을 연주하고 있고, 오케스트라 단원에도 속해 있지요. 수학자라는 것은 오케스트라 단원과 같아요. 딴딴따따따~ 5도 음정인가요? 장 6도 음정은, 아주 기초 음악 음계에서 가장 기초 음악을 지금 말씀드리고 있는 거예요. 이런 과정을 통해서 여기까지 이르렀어요. 수와 관련해서 굉장히 놀라운 것들을 경험할 수 있을 텐데요. (레오나르도 다빈치의 인체 비례에 관한 그림을 보여주며) 음계의 비율에 따라서 인간의 팔의 동작을 이렇게 나타냈다는 것을 볼 수 있어요. 이런 과정을 통해서 보자면, 발도르프 학교에서 왜 오이리트미를 하는지 굉장히 명확해지죠? 여러분이 보시면 이 숫자들이 점점 더 복잡해지는 것이 보이죠? 굉장히 간단하지만 점점 더 숫자가 복잡해지는데 갑자기 숫자가 단순해집니다. 1분의 2. 모든 철학자들이 여기에 문제점을 의식하고 있어요. 점점 더 복잡해지다가 단순해지는 것이 문제라고 생각하는데요. 여기서 아주 중요한 지점입니다. 아주 단순한 것을 알기 위해서는 아주 복잡한 사고 과정을 통해서만 얻을 수 있다는 것입니다. 2대 1이라고 하는 단순한 비율을 얻기까지 얼마나 복잡한 과정을 통해서 이 단순한 과정에 이르게 되었는지 보시면 아실 거예요. 굉장히 믿을 수 없을 만큼 삶에서 유효하다고 할 만한 일인 것이지요. 제 부인은 의사인데요, 의사는 항상 많은 매니저들과 미팅을 하면서 대화를 해야 합니다. 그런데 늘 굉장히 복잡한 생각을 가지고 있는 사람들과 만나요. 복잡한 사고를 할 수 있는 사람만이 아주 간단하고 명쾌한 답을 얻을 수 있습니다. 우리 일상생활에서도 이런 것을 흔히 볼 수 있어요. 사회적으로 봤을 때 어떠한 한 가지 일에 대해서 많은 사람들이 모여서 얘기를 하다 보면 엄청나게 많은 다양한 의견들이 쏟아지죠. 그러면 그런 얘기를 듣다 보면 그 일을 해결할 수 없는 경우를 맞닥뜨리게 됩니다. 자, 이 예를 통해서 산수(셈하기)가 어떻게 음악과 연관이 있는지를 보셨나요?

 

그러면 기하학이 천문학과 어떠한 관련성이 있을까요? 케플러의 법칙에 따르면 행성이 얼마나 규칙적으로 돌고 있는지에 대한 그림을 볼 수 있는데요. 이게 태양이에요. 태양을 중심으로 해서 타원궤도로 돌고 있는 케플러 법칙의 하나를 볼 수 있습니다. 제가 기하학적인 것을 이해할 수 없다면 우주의 이런 운행법칙을 이해할 수 없겠지요. 하지만 행성들의 움직임을 보면 그 곡선들이 더욱 더 복잡한 움직임을 보이는 것이 있습니다. 여러분들이 해시계를 관찰하다 보면, 해가 움직이는 궤도를 따라가다 보면 이런 8자 모양을 따라 움직이는 것을 볼 수 있어요. 이러한 곡선들, 천체 운행의 곡선들을 9학년 내지 10학년에서 배웁니다. 50가지나 되는 곡선들이 있어요. 많은 곡선들에 대해서 배우게 되겠지요. 심장 곡선과 같은 이러한 곡선들도 배우게 됩니다. 이것을 여러분들에게 강의할 수는 없어요. 이것을 설명하자면 2, 3일 걸립니다. 학생들은 이러한 모양조차도 정확하게 작도해 내는 것을 배웁니다.

그러면 음악과 천문학은 어떠한 관계가 있을까요? 음악과 천문학이 어떠한 관련이 있는지에 대해서 많은 사람들이 배우지는 않지요. 오늘날 수학에서도 이런 것을 가르치지는 않아요. 하지만 이런 것들을 다 배울 수는 있습니다. 발도르프 학교에서 차근차근 교육과정을 밟아가다 보면 이런 연관성을 볼 수 있습니다. 여러분들 한국에서 이런 자리에서 이런 학교와 같이 하나의 학교에서 미래에 어떠한 인간을 길러내고자 하는 것을 시작한 이러한 자리에 있다는 것에 감사해야 합니다. 이러한 학교를 위해서 많은 교사들과 학부모들이 함께 시작한 것이지요. 이러한 공간에서 10년 후에 이런 것들을 다 배우는 학생들이 나오는 학교가 있다는 것이 얼마나 좋은 일입니까?

그러면 다시 돌아가서 음악과 천문학은 어떠한 관계성이 있을까요? 요하네스 케플러는 이러한 연관성을 알고 있을 텐데요. 음악의 세 가지 형태가 있는데요, 뮤지카 후바나라고 하는, 무언가를 보면 노래를 부를 수 있는 사람이 있어요. 그리고 인간이 어떻게 말을 하는가를 잘 관찰해 보세요. 아주 아름답게 아주 정확한 문장으로 문장을 만들어서 잘 이야기를 하는 사람인지 아닌지. 많은 교육현장에서 많은 사람들이 굉장히 빠르게 이야기 합니다. 무언가를 가르치고자 한다면 아주 천천히 이야기해야 해요. 그리고 목소리는 위에서 점차 점차 아래로 저음으로 내려가야 하지요. 아이들을 고요하게 만들고자 한다면. 만약 어떤 일로 인해서 아이들이 자극적인 상황이 벌어져서 흥분하게 되는 상황이라면 자, 우리 나중에 거기에 대해서 얘기해 보자라고 해야 해요. 이러한 흥분된 상황을 잠재우려면 교사, 어른으로서 얼마나 큰 권위를 가지고 있어야 할까요? 많은 사람들이 빠르게 말을 하면 할수록 권위를 잃어간다는 것을 알 것입니다. 한번 시도해 보세요. 천천히 이야기 하는 것을 통해서 그 사람의 권위가 먹힌다는 것을 여러분들은 경험하게 될 것입니다. 만약 누군가가 빨리 이야기 한다면 어떤 누구도 (저리 가라는 듯한 손짓을 하며) 이렇게 해 버릴 거예요.

 

다시 매체의 얘기를 해볼게요. 매체에서 얼마나 영상들이 재빨리 움직입니까? 예전 강의에서 미디어에 대해서 언급한 적이 있는데요, 미디어에 대해 연구한 유명한 사람이 있는데요, 만프레드 스핏쪄라는 신경학자인데요, 이걸로 여러분들이 쇼크 받지 않기를 바랍니다. 여러분 다들 핸드폰 가지고 있지요. 랩탑도 가지고 있고 티비도 가지고 있어요. 자 여러분들의 핸디, 랩탑, 텔레비전을 보고 있을 때 우리의 뇌가 어떤 반응을 보이는지에 대한 연구입니다. 의학적인 전문용어를 쓰자면 매체를 마주하고 있는 그 상황에서는 뇌에서는 시냅스가 작용하지 않고 있습니다. 이것은 아무것도 배우고 있지 않은 상태를 말합니다. 여러분들이 핸드폰 이런 것들로 무언가 작업을 하고 있을 때, 이런 작업을 하고 있을 때 아무것도 배울 수가 없어요. 학문적으로 이런 것들이 다 연구되어지고 증명되어지고 있습니다. 이런 작업을 할 때 얼마나 멍청해지는지... 멕시코에 가 본 적이 있는데요, 교육부 장관과 대화를 나누었습니다. 이 교육부 장관이 학교에서, 발도르프 학교에서도 아이들에게 전자책을 제공해야 한다는 생각을 가지고 있었어요. 그래서 그 사람에게 이 사람의 연구결과에 대해서 얘기했습니다. 학문적인 연구 결과를 통해서 이러한 전자 매체를 통해서 사람이 얼마나 어리석어지는지가 나타나고 있는데, 이 어리석음은 인간 자체적으로 가지고 있는 것이 아니라 외부 영향의 결과라는 것이지요. 예를 들면 지능적으로 봤을 때도 그런 매체들을 통해서 내가 점점 어리석어지고 있다는 것을 알 수 있나요? 내가 어리석다라고 말하는 그 순간 자기는 어리석지 않다는 것을 인지하는 것이지요. 이러한 상황들을 여러분들은 인지하고 있을 거예요. 디지털을 통한 손상이라고 표현해 볼 수 있을 텐데요. 여러분들이 일상적으로 하고 있는 일들을 통해 어떠한 영향을 받고 있는지 생각해 보셔야 해요. 아이들은 수업시간에 자기 스스로 무언가를 하려고 하는 역동적인 의지를 발휘해서 그 수업에 임해야 하는데, 모든 것이 티비에서 흘러가듯이 자기를 놓아 버린다면 어떠한 상황이 올까요? 요즘 교육현장에서 아이들이 이런 의지적인 것들이 얼마나 부족한지를 보여주고 있습니다.

 

다시 돌아갈게요. 음악하고 천문학은 어떤 관계가 있나요? 후마나라고 하는 인간 차원의 음악이 한 분야로 있을 수 있구요. 내가 무언가를 듣고 오케스트라의 음악을 듣고 노래를 부르고 노래를 듣는다면 이것은 인간 차원의 음악이라고 할 수 있어요. 두 번째는 악기를 연주하는 음악이라고 표현할 수 있어요. 자기 스스로가 악기를 연주할 때, 연구를 통해 밝혀진 바에 의하면 음악을 연주하는 사람은 더욱 더 지능적이 된다는 연구결과가 있습니다. 가능하다면 모든 아이들이 또는 모든 교사들이 한가지의 악기를 연주한다면 좋겠습니다. 이런 것들을 다 알고 계신다면 얼마나 자기 자신을 더욱 더 강하게 할 수 있는지 아실 것입니다. 이런 것들을 하지 않는다면 더욱 더 많은 문제들이 교육현장에서 일어날 것입니다. 세 번째는 우리가 무지카 문다나라고 하는 음악의 세 가지 영역 중의 하나는 우주의 음악이라고 할 수 있습니다. 요하네스 케플러가 쓴 책의 제목도 이것과 같아요. 우주의 조화라고 하는 책입니다. 이것은 사실 천문학보다 그것을 뛰어넘는 하나의 영역에 대한 서술이에요. 케플러가 어떤 것을 그렸는지 보여줄게요. 자, 여기에 토성이 태양 주변을 돈다고 봅시다. 케플러의 두 번째 법칙을 보자면 토성이 이 운행궤도에서 천천히 이 방향으로 간다고 얘기하고 있어요. 태양이 여기 있고 토성이 여기 있을 때는 아주 천천히 가는데, 토성이 태양 주변 가까이 왔을 때는 아주 빠르게 움직인다고 얘기하고 있어요. 케플러는 이 두 경우의 속도를 비교해 봤습니다. 이 속도의 비가 4대 5라는 것을 알아냈어요. 자, 토성의 움직임이 무엇을 하고 있는지 여기서 보이시죠? 토성이 장3도의 움직임을 하고 있다는 것을 알 수 있어요. 목성을 봅시다. 단3조의 음정으로 돌고 있다는 것을 알 수 있어요. 속도의 비율이. 이것에 비해서 지구의 운행은 16분의 15, 15대 16의 속도로 움직이고 있어요. 베토벤의 이플랫 장조에서 이것을 표현하고 있어요. 베토벤의 이플렛 메이저 음악을 들으면 이것이 연주되고 있는 것을 알 수 있어요. 지금 보여드린 것과 같이 음악은 전 우주와 같이 공명하면서 움직이는 흐름들과 연관성이 있다는 것을 알 수 있어요. 여기서 이 관계성들을 보면 각각의 영역들이 오로지 자기의 영역만 가지고 있는 것이 아니라 커다란 연관성 속에서 같이 움직이고 있다는 것을 알 수 있지요. 어려운 것은 전체의 연관성을 보지 못하고 하나의 일부분만을 가지고 와서 그것만을 들여다보면서 그것에 매몰되는 것이지요.

 

그렇다면 산수(셈하기)는 도대체 천문학과 어떤 관련성이 있을까요? 수성은 116일 동안 한 바퀴를 돕니다. 금성은 한 바퀴 도는데 584일이 걸려요. 자, 이런 관계성들을 보자면 단순한 숫자가 어떤 추상적인 것을 나타내는 것이 아니라 굉장히 구체적인 것들과 연관되어 있다는 것을 알 수 있지요. 누구나 다 아는 것처럼 태양은 365일에 한 바퀴를 돌지요. 그렇다면 화성은요? 2.2년이 걸립니다. 12궁도를 한 바퀴 도는 것과 같지요. 목성은 12년이 걸립니다. 토성은 30년이 걸려요. 인간이 30살이 될 때 굉장히 흥미로운 것을 발견하는데요, 이 나이를 넘긴 사람들은 이 나이 때에 어땠는지 회상해 볼 수 있을 것입니다. 현대에서 30살이 되는 나이는 많은 사람들이 알 수 있듯이 자기 자신에게로 집중되고 몰두되어 있다는 것을 알 수 있어요. 여기서 보여지고 있는 각각의 행성들의 운행궤도, 운행 날짜들이 인간의 발달에서 아주 커다란 역할을 하고 있다는 것을 알 수 있습니다. 만 두 살이 되면 말하기를 배우죠. 부모들은 아주 잘 주의를 기울여야 되는데요, 생후 8개월에서 13개월이 되었을 때에 어떠한 일이 일어나는지에 대해서 주의를 기울여야 합니다. 생후 8개월에서 생후 13개월까지 5개월 동안, 이 사이에 언어 모방능력이 최고조에 이른다는 것을 알 수 있습니다. 이 시기에 특별히 그렇기 때문에 부모들이나 주변 사람들은 아주 주의 깊고 세심하게 말해야 합니다. 모든 유치원 교사들도 이 사실을 알고 있어야 해요. 이런 것들을 모른다면 어떤 것이든지 아무것이나 다 하는 상황이 벌어질 수도 있어요.

 

그러면 음악과 기하학은 어떤 연관이 있을까요? 음악 악기들이 어떤 형태로 만들어져 있는지 잘 보십시오. 바이올린은 이런 모양으로 되어 있지요. 이걸 지칭하는 이름이 있어요. 카시니의 곡선이라고 부릅니다. 피리의 형태를 한번 보십시오. 굉장히 아름답게 되어 있지요. 파이프 오르간의 형태도 보십시오. 이 모든 것들이 다 기하학과 연관되어 있습니다. 여러분들, 바이올린을 제작하는 사람에게 가서 한 번 구경을 해 보세요. 여러분들이 기하학을 잘 알고 이해하고 있다면 바이올린이 제작되는 과정을 아주 빠르게 잘 이해할 수 있어요.

 

그럼, 셈하기는 기하학과 어떤 연관이 있을까요? 간단한 스케치를 해 볼게요(정육면체를 그린다). 여기 육면체에서 몇 개의 꼭지점이 있나요? 여러분도 숫자는 금방 셀 수 있지요. 8개의 꼭지점. 몇 개의 면이 있을 가지고 있나요? 6개의 면이 있습니다. 몇 개의 모서리가 있나요? 12개입니다. 산수적으로 보자면 12더하기 2는 8더하기 6이지요. 바로 끌어낼 수 있지요. 이 정육면체는 정다면체 중 하나인데, 정다면체는 모두 다섯 개가 있습니다. 9학년, 10학년에서 배우는 것입니다. 상급 초기 단계에서 배우는 것이에요. 9학년 초기 단계에는 일주일에 두 시간씩 기하학을 배우게 됩니다.

 

보시는 것처럼 이 네 가지 영역은 각각 독립적으로 따로 따로 배울 수 없다는 것을 알 수 있습니다. 모두가 아주 커다란 연관성이 있어서 같이 배워야 한다는 것을 알 수 있습니다. 이 아주 전형적인 네 가지 4요소라고 할 수 있는 것을 볼 수 있습니다. 교육이라는 것이 일어나는 현장에서는 항상 이 네 가지 영역이 함께 다루어져야 한다는 것을 보여주죠. 이런 것들을 오늘날 어디에서 찾아볼 수 있나요? 사제들이 모여서 사는 곳, 수도원 같은 곳에서 볼 수 있어요. 이 수도사들 중에는 굉장히 높은 수준의 교육을 받은 사람들도 있습니다. 저 스스로도 아주 놀라운 경험을 했었는데요, 캠프장에서 있었던 일입니다. 그 캠프장에 수도사들이 지나가고 있었어요. 저 사람들이 수도사들이구나, 하고 알아차릴 수 있었는데, 베네딕트 수도원의 수도사들이었습니다. 이 사람들은 특별한 교육을 받은 사람들이에요. 그 사람들과는 이 네 가지 영역에 관해서 대화할 수 있다는 것을 알았어요. 다른 일반적인 사람들과는 대화할 수 없는 영역의 부분들에 관해서. 이 네 가지 영역을 알고 있다는 것은 정신적인 영역을 알고 있다는 것과 같지요.

 

자, 그럼 여기서 한번 묻겠습니다. 물질주의가 도대체 무엇을 만들어 냈을까요? 물질주의는 이 네 가지 영역을 모두 다 버려 버린 것입니다. 일반적인 문화에서는 이런 것들은 아무것도 찾아볼 수 없습니다. 저도 여러 경험을 통해서 알 수 있었는데요, 이런 것들에 대해서 배운 적이 없다는 것을 여러 사람을 통해서 알 수 있었습니다. 이것에 대해서 대화를 나누려고 할 때 그 사람들은 항상 주저하는 것을 많이 보았습니다. 이런 것들을 배우지 않은 사람들과 그것에 대해 대화하려고 할 때 쇼크를 먹어요, 계속. 모든 발도프르 학교에서는 이런 영역들을 통해 미래의 어떤 인간의 상을 기를 수 있도록 해야겠지요. 어떤 학교들에서는 이런 것들이 잘 이루어지고 있어요. 저는 슈투트가르트라는 도시에서 왔는데요, 그 도시에는 벤츠라는 회사가 있습니다. 그 벤츠 회사는 발도프르 졸업생들을 항상 선호하여 받으려고 했습니다. 그 사람들이 아주 좋은 교육을 받았다, 라고 벤츠 사람들은 알고 있어요. 발도프르 졸업생들은 어느 한 곳에 편협하게 묶여 있는 것이 아니라 아주 유연한 것으로 알고 있었어요. 어떤 회사의 사장이 이러한 것들을 얘기할 수 있을 정도로 알고 있다는 것은 아주 놀라운 일이지요.

 

(휴식 후 미리 전달된 질문에 대해 답을 하는 시간을 가짐)

 

굉장히 다양한 많은 질문들이 나온다는 것은 당연한 일입니다. 이 모든 것들이 다 대수와 연관되어 있을 것이라고 생각이 드는데요, 이제 주의하셔야 합니다. 대수라는 것이 무엇일까요? 대수라는 것이 무엇인지 명확하게 알고 있다면 다른 것들은 하나도 어려울 것이 없습니다. 몇 가지 예를 한번 들어 볼게요. 여기서 2+3=5 라고 계산 문제를 쓸 때, 이런 문제는 대수의 영역은 아직 아닙니다. 이것은 아주 구체적인 수로 계산된 산수 문제예요. 이 문제를 다른 방식으로 2+3=3+2 라고 쓴다면 이것은 단순한 산수 문제만은 아니라는 것을 알 수 있어요. 이 등식에서는 계산 방식의 법칙이라는 것을 알 수 있어요. 이 등식에서 계산 방식의 법칙을 학생이 발견해 낸다면, 알아내게 된다면 그것은 스스로 발전할 수 있는 가능성을 가지고 있는 거예요. 예를 들면 이것을 숫자가 아니라 문자로 a+b=b+a 라고 쓸 때 규칙성을 발견할 수 있는데 어떤 규칙성인가요? 그것은 교환, 자리를 바꿔도 유효하다, 라는 교환 법칙을 알 수 있지요.

 

아주 간단한 예를 통해서 대수가 무엇인지를 알아차리는 과정들이 중요합니다. 예를 들면 2×3=6 이라는 과제의 예로도 할 수 있는데요, 2곱하기 3은 6이라는 것은 계산을 통해서 나온 것이죠. 그런데 2곱하기 3, 3곱하기 2라고 하는 계산의 순서는 상관이 없는 것이었어요. 산수에서는. 이런 것은 모두 저학년 단계의 수학이지요. 근데 저학년 단계에서 이런 것들이 도입이 되고 다루어진다면 이것이 나중에 대수로 어떻게 이어지는지, 대수를 잘 배울 수 있는 기초를 다지게 되는 것입니다. 2×3=6 이것을 나타내면서, 2×3=3×2라고 굳이 표현할 필요는 없어요. 이것을 계산하기 위해서는. 하지만 실제적으로 이것을 계산하는데 있어서 자리를 바꿔도 상관이 없다는 것을 알 수 있지요. 숫자가 아닌 문자를 통해서도, a×b=b×a 라고 위치만 바꾸어서 해도 똑같다는 것을 알아 낼 수 있겠지요, 대수에서는. 이것이 명확한 과정은 아닙니다.

 

일반적인 삶에서 한번 봅시다. 그 순서를 바꾼다는 것이 어떠한 사실, 어떠한 물건의 자리를 뒤바꾸는 것이 일상생활에서도 아주 실제적인 방법이 될 수 있을까요? 그런가요? 수학에서는 이런 것이 가능하죠. 위치만 바꾸어도 등호가 성립된다는 것을 알 수 있는데요. 예를 들면 이런 예를 들어볼게요. 요리를 하는데 후라이팬에 먼저 기름을 두르죠. 그 다음에 밀가루 반죽을 넣어요. 다르게 해 봅시다. 먼저 밀가루 반죽을 넣고 그 위에다 기름을 넣어도 되나요? 또 다른 예를 들면 창문을 열고 바깥을 보지요. 근데 거꾸로 먼저 밖을 본 다음에 창문을 여나요? 실제적인 삶에서는 이 법칙이 유효하지 않지요. 이 대수라는 과정을 통해서는 법칙, 규칙을 알아내는 것입니다. 여러분들이 이 규칙을 스스로 발견해 낼 수 있는지 문제를 내 보겠습니다. 여러분들이 지금 학교에서 잘 배웠는지, 학교를 위해서 준비가 잘 되었는지 시험해 보겠습니다. 4+5=1+2+6으로 표현될 수 있습니다. 맞지요? 여기에 또 다른 이견이 있을 수 없어요. 맞거나 틀리거나 둘 중에 하나죠. 수학에서는 어떤 토론이 일어날 이유가 없습니다. 무언가 이해하지 못했을 때는 대화를 할 수는 있지요. 하지만 수학에서는 또 다른 의견을 제시하는 토론을 할 이유가 없습니다. 9+10=1+6+12 이것도 맞지요? 여러분들이 대수를 알고 있다면 다음 문제가 무엇인지 알겠지요? 아주 간단합니다. 자, 규칙을 발견한 분이 계시나요? 9학년 정도에서는 금방 규칙을 찾아낼 수 있어야 합니다. 교사는 아무 얘기도 해 주지 않아요. 아이들이 이 두 개를 보고 규칙을 발견하고 다음에 어떤 문제가 나올지 알아야 합니다. 다음 문제가 뭘까요? 여기 한번 해 볼게요. 14+15=1..... 1을 먼저 쓸 수 있어요. 1이 맨처음이죠? 자, 이다음 과정을 어떻게 풀어나가는지를 보면 대수를 어떻게 배웠는지를 알 수 있어요. 자 여기서 다음 단계를 써 볼게요. 16+17=1+12+20 다음 단계는 뭘까요? 이건 저학년 단계예요. 25+26=1+20+30(청중대답) 자, 다음 단계는 뭘까요? 36+37=1+30+42(청중대답) 맞습니다. 이것이 대수예요. 자, 이걸 이제 공식으로 나타낼 수 있을 것입니다.

 

대수는 항상 두개의 단계를 거칩니다. 첫 번째는 규칙을 발견해 내는 것. 첫 번째 문제 위에 이렇게 적어 볼게요. 4²+5²=1²+2²+6² 이거 맞나요? 자, 계산만 하시면 되요. 계산해서 이게 맞는지 확인해 주세요. 계산하신 사람 있나요? 손들어 주세요. 컴퓨터가 있으면 정확하게 계산할 수 있겠죠? 컴퓨터를 사용하기 전에 스스로 계산할 수 있어야 컴퓨터를 사용할 자격이 있습니다. 우리는 기계를 생산해 내는 것이 아니라 자율적이고 독립적인 인간을 교육하는 것이기 때문에 스스로 뭔가를 할 수 있어야 되는 것이에요. 이것 맞나요? (청중)네. 이것도 그렇게 할 수 있나요? 두 번째 수식? 9²+10²=1²+6²+12² 맞나요? (청중)네.

 

나머지 식들도 다 이런 식으로 계산할 수 있나요? 다른 예를 한번 들어볼게요. 어떤 규칙을 여기서 발견할 수 있을까요? 피타고라스의 법칙을 알면 이것을 알 수 있지요. 3²+4²=5² 이다. 무언가 계산해 낼 수 있는 이런 예술적인 행위는 굉장히 좋은 것이다. 여러분들이 잘 알고 있는 365가 이렇게 표현될 수 있어요. 10²+11²+12²=13²+14²=365 이런 것은 아주 쉽게 해 낼 수 있어야 해요. 이걸 어떤 과정을 통해 해낼 수 있나요? 연습을 통해서이지요. 연습의 비밀입니다. 이것이. 수도사들은 수도원에서 이 네 가지 영역을 매일같이 연습했던 것이 예요. 이런 것을 푸는 것은 아무것도 아닌 것이 되어야 겠지요. 누가 규칙을 발견해 냈나요? 여기 보세요. 두 개의 항의 합의 결과는 한 개의 항, 세 개의 항의 합의 결과는 두 개의 항의 합, 네 개 항의 합의 결과는 세개 항의 합이겠지요. 이거 대수예요. 다른 것도 아니에요. 단순한 대수입니다. 학생들이 이 규칙을 발견해 낼 때까지 교사는 아무 말도 하지 않습니다. 이런 규칙을 발견해 냄으로써 아이들은 수학에서의 자신의 능력을 발견해 내는 것입니다. 교사가 얘기해 주는 것은 마치 텔레비전 앞에 있는 것과 같은 것이에요. 교사가 다 얘기 해 주는 것은 또 다른 텔레비전의 형태일 뿐입니다. 자, 누가 하셨죠? 앞에 계신 수학선생님들 말씀해 주세요. 전문가들 말씀해 주세요. 다시 말씀드리면 이건 그렇게 간단한 문제는 아닙니다. 하나 더 해볼게요. 21²+22²+23²+24²=25²+26²+27² 자, 여기서 규칙을 발견하셨나요? 누가 발견하셨나요? 이 규칙을 발견하는 능력이 대수에서 일어나야 합니다. 여러분들이 이런 것들을 계속 연습했다면 겁먹을 필요가 없어요. 여기 두개의 숫자가 연관성이 있는데, 뭔가요? 어떤 연관성이 있나요? 4 더하기 5는 9죠? 9는 3의 제곱이지요? 12 더하기 13은 25지요. 25는 5의 제곱이지요. 24더하기 25는 49, 7의 제곱이지요. 자 그 다음에는 뭐가 와야 할까요? 뭔가 발견하셨나요? 여기 81이 와야 하구요, 여기 81이 온다면 여기 뭐가 올까요? 그렇다면 여기 뭐가 와야 할까요? 청중(40, 41) 여기서는 다양한 의견이 나오면 안돼요. 수학의 가장 아름다운 면모인데요. 수학에서는 논의가 필요 없다, 이견이 필요 없다. 수학에서는 정당을 만들 필요가 없어요. 왜냐하면 수학은 정신적인 학문입니다. 정신적인 학문이라는 것은 다른 의견을 요구하지 않아요. 이것이 바로 정신적인 차원에서의 자유로운 인간이라고 하는 것이 독립적인 인간이라는 것입니다. 여기 오신 청중 여러분들은 이런 과정들을 통해서 ‘내가 뭘 해야 하지?’라고 물어볼 수 있을 거예요. 대수라는 것은 굉장히 아름다운, 경이로운 작업입니다. 세상은 모두 다 규칙에 의해서 움직이고 있어요. 이런 규칙들을 찾아보세요. 하지만 그것을 발견하지 못하는 것뿐입니다.

 

다음 단계에서는 뭐가 올까요? 36²+37²+38²+39²+40²=41²+42²+43²+44² 여러분들이 머리로 암산할 수 있다면 컴퓨터가 없어도 할 수 있겠지요. 이 모든 것들은 다 연습, 연습이 과제인 것 같아요. 다음 것 한 번 더 해볼게요. 60의 제곱=61의 제곱.. 이렇게 시작이 되겠지요. 수학자라면 여기서 뭔가 특별한 것을 발견했을 것입니다. 삼각수와 관련되어 있습니다. 삼각수. 이것을 통해서 고대 이집트인들이 어떻게 피라미드를 건설했는지, 수학자로서 이 역사적인 사실에 대해서 알고 있는지 모르고 있는지에 대해서 질문해 볼 수 있겠지요. 이런 과정들에 대해서 유명한 책도 있습니다. 대수라는 것은 어떤 규칙을 발견해 냈는지, 규칙을 발견할 수 있는 능력을 얘기하는 것입니다. 아주 간단한 법칙의 예를 들어볼게요. 삼각형 내각의 합은 180도이고, 그렇다면 사각형 내각의 합은 몇 도입니까? 네. 180곱하기 2죠. 아주 간단한 이러한 규칙들도 있습니다. 이런 것들을 보고 발견해 낼 수 있어야 해요. 그리고 이 규칙들을 하나의 형식으로 나타내는 것이 공식이라는 것이지요.

 

아주 간단한 다른 과제를 해 볼게요. 2²+3²=13입니다. 그러면 13의 제곱은 무엇인가요? (청중, 169라고 대답하다) 아니, 계산하지 마시고 이 형식에 따라서 여기에 써 보세요. (3²-2²)²+(2×2×3)²입니다. 아주 기초적인 것이지만 간단하지는 않아요. 맞나요? 이것이 대수예요. 대수라는 것은 항상 이렇게 규칙을 발견하는 과정입니다. 이것을 아이들이 규칙을 발견해 내야 합니다. 대수 과정을 계속해서 연습을 잘 하지 않았거나 학교에서 잘 배우지 않았다면 이것을 듣는 것이 쉽지는 않을 거예요.

 

또 다른 하나의 질문이 있었는데 질문 중에 하나는 수학에 약한, 약점을 가지고 있는 아이에 관한 질문이에요. 어떤 것이 문제가 될까요? 담임과정에서도 무언가 간단한 계산을 어려워하는 아이들이 있습니다. 무언가 계산을 하면 항상 틀린 답을 나타내는 아이들이 있어요. 그런 테마를 가지고 세미나를 했어야 했던 상황이 있었어요. 오늘 이 질문을 가지고 마치도록 할게요. 내일 또 한 번의 강연이 있지요? 여러분들 한번 상상해 보세요. 1학년 2학년 아이들 중에 수학, 뭔가 계산해 내는 것이 어려운 아이들이 있다고 생각해 보세요. 무엇이 문제일까요? 어떤 문제를 가지고 있는 것일까요? 사람들 중에는 숫자에 대해서 어떠한 연관성도 갖지 않는 사람들이 있어요. 어떠한 관계성도 찾을 수 없는 사람이 있어요. 그런 아이들과 무엇을 할 수 있을까요? 수업시간에 빼낼까요? 아이들에게 이런 질문을 던질 수 있어요. 8이라는 숫자는 도대체 어디서 왔을까? 8은 감각적인 것에서 찾아볼 수 없어요. 어디 어떤 시내 같은 곳에 나가서 8을 찾아볼 수 있는지 한번 생각해 보세요. 어디에서도 8을 찾아볼 수 없어요. 하지만 8이라는 것을 주변 감각적인 세계에서는 찾아볼 수 없지만 내면 적으로 그 어떤 상을 가지고 있다면 8을 찾을 수 있는데요, 이것을 정신이라고 표현할 수 있어요. 감각적인 세계에 속해 있지는 않지만 정신적으로, 내면적으로 찾을 수 있다면, 그래서 수학이라고 하는 것은 자연과학에 속하는 학문이 아닙니다. 수학은 자연과학이 아니라 ‘정신’이라고 하는 것입니다. 

피타고라스는 다음과 같이 유명한 얘기를 하지요. 모든 것은 다 수로 이루어져 있습니다. 현대에 어떠한 시장들도 이 말을 이해하는 사람들은 없을 거예요. 숫자와 같은 또 다른 것들도 세상에는 많이 있습니다, 라고 사람들은 얘기할 지도 모르겠어요. 숫자라고 하는 것은 어떤 정신적인 본질, 정신적인 존재입니다. 수학이라는 것은 내면적인 정신적인 관계성, 숫자를 향한 정신적인 내면적인 관계성을 찾아나가는 길입니다. 그렇기 때문에 오늘날에도 모든 절이나 사원을 가면 거기에서 수학적인 것들을 발견할 수 있습니다. 다시 수학에서 어려움을 갖는 아이들로 돌아올게요. 이 아이들은 숫자에 대해서 어떤 관계성을 연습을 못한 아이들입니다. 이렇게 그 관계성을 스스로 찾지 못한 아이들은 2, 3학년 올라가서도 계산을 못해 낼 거예요. 이것이 요즘 유명한 단어로, Dyskalkulie. 계산 못 해내는 아이들을 지칭해 내는 단어가 있지요. 여기에 대한 어떤 진단명이 있어요. 이 문제의 원인은 교사입니다. 아주 놀라운 일이지요. 난독증과 똑같은 차원에서 이것을 지칭하는 용어가 있어요. 어떤 센터에서 이것을 치료하는 센터를 가 본적이 있었는데 여기서 아이들을 데리고 무슨 일을 할까요? 독일의 모든 도시에 이 아이들을 위해서 센터들이 있어요. 계산에 어려움을 가진 아이들을 위한 센터이죠. 도대체 거기서 무엇을 하고 있는 것일까요? 거기에 모인 아이들은 사실 다 교사들에게 원인이 있는 거예요. 교사들에게 문제가 있기 때문에 이 아이들이 이런 어려움을 겪는 것입니다. 어떤 사람들이 선생님에게 하나의 예시를 했는데요. 예를 들면 다음과 같은 문제를 계산해 내야 한다고 했어요. ☆!=? 이걸 누가 계산해 낼 수 있을까요? 이런 게 도대체 뭐예요? 이런 식으로 아이들에게 수학적인 계산이 이렇게 다가가는 거예요. 아이들에게 숫자의 계산이 이렇게 다가가고 있는데도 불구하고 교사들은 이것을 알아차리지 못하고 있는 것일 뿐입니다. 부모님들께 말씀드리자면 아이들이 이런 상태에 있다는 것을 알아차리지 못하고 있는 것은 교사에게 큰 문제가 있다는 것이지요. 

그렇다면 기본적인 질문을 다시 드리죠. 아이들은 왜 계산을 해 내지 못할까요? 이 아이들은 숫자에 대해서 연관성, 계산성을 찾아내지 못하기 때문이죠. 이 아이들은 숫자에 대해서 블랙 아웃된 것이에요. 이런 아이들과 할 수 있는 두 가지 연습이 있는데요, 첫 번째 8이라는 숫자가 도대체 어디서 온 것일까? 아주 구체적인 예로 이것을 가져갈 수 있어야 해요. 예를 들면 거미는 여덟 개의 다리가 있다. 새는 두 개의 다리를 가지고 있죠. 역시 사람도 두개의 다리를 가지고 있습니다. 3이라는 숫자는 어디에서 찾아볼 수 있을까요? 아마 여러분들이 부모님들의 모임에서 비밀히 얘기해 줘야 할지도 모르겠어요. 아빠 숫자 9는 도대체 어디서 온 거예요?라고 물으면 여러분들은 대답을 준비하고 있어야겠지요. 모든 가족이 거기에 대해서 생각하고 있어야 될 거예요, 아마. 또 다른 문제를 내볼게요. 5+7이라는 문제를 계산해 봅시다. 발도르프 학교에서는 이 등식을 이런 식으로 다루죠. 12=5+7 왜 이렇게 계산할까요? 처음에 먼저 어떤 특징을 찾아내고 그 다음에 비판을 할 수 있어야 합니다. 12는 3+9와도 같지요. 여기서 12라는 숫자가 어떤 수의 합인지는 자유롭게 나올 수 있어요. 그런데 거꾸로 5+7이 무엇일까 라고 문제를 내면 단 한 가지 대답밖에 없지요. 앞의 것이 분석적인 과정이라면 뒤의 것은 통일화, 단일화된 과정이라고 할 수 있어요. 이 과정에는 또 다른 깊은 관점이 있는데 교사는 잘 관찰해 내야 합니다. 어떤 소녀가 5가 도대체 무엇인지 모른다면 교사는 무엇을 해야 할까요? 이 아이와 같이 연습을 해야 하는데 어떤 연습을 해야 할까요? (다섯 박자로 칠판을 두드린다) 이런 것들을 통해서, 리듬을 통해서 기억력을 향상시키는 과정을 해야 합니다. 예를 들면 이런 것을 할 수도 있어요. 촉각을 통해서요. (다른 사람의 등을 다섯 번 찌른다) 감각적인 것으로 숫자와 관계를 맺을 수 있는 것들을 해야 합니다. 손에다 작은 찻수저 같은 것으로 사과 조각을 떠 놓고 세어 볼 수도 있어요. 사과 조각을 먹일 수도 있겠지요? 몇 개 먹었지? 혀에서 그것을 느껴볼 수도 있어요. 몇 개인지 세어 보는. 외부의 어떤 감각적인 구체적인 것에서 점차 숫자를 내면화하는 과정으로 접근해야 합니다. 이것이 바로 교육이라고 할 수 있어요. 교육자는 이런 것들을 알아낼 수 있어야 합니다. 찾아낼 수 있어야 합니다. 하지만 교육자는 동시에 인내심을 가지고 있어야겠지요. 어디에서든지 수학과 관련해서 수학에 약한 아이들을 발견한다면 그 아이들이 무엇에 문제를 가지고 있는지 교사는 아주 정확하게 그 원인을 찾아내야 합니다. 하지만 그 원인을 찾아내는 것은 쉽지는 않아요. 

수학자로서 아이들과 수업을 하는데, 어떤 아이가 수업을 제대로 따라 가지 못하는 것을 교사가 제대로 알아차리지 못한다면 아주 큰 문제이겠지요. 그건 위험한 일입니다. 이런 수학에 약한 아이들은 굉장히 많은 사랑과 인내심이 필요합니다. “이것도 못하니?” 라고 말하는 것은 아주 나쁜 행위입니다. 이런 아이들은 교사와 부모들이 함께 아주 잘 작업해야 해요. 일반 공교육에서는 이런 수학에 약한 아이들과 어떤 일을 하고 있나요? 다음과 같은 일을 하고 있을 지도 몰라요. 선생님께서 명령을 내릴 것입니다. 예를 들면 “앞으로 네 걸음을 걸어. 그리고 오른쪽으로 두 걸음을 걸어.” (앞으로 네 걸음을 걷고 오른쪽으로 두 걸음을 걷는다) 이건 사실 해서는 안 되는 일을 하는 거예요. 공간 안에서 이런 움직임들은 균형감각과 아주 밀접한 관련을 가지고 있는데요, 예를 들면 또 다른 예로 박수를 치면서 어떤 것을 해 볼 수 있을 거예요. (청중의 반은 2의 배수 박자에서 박수를 치도록 한다) 아주 강하게 하십시오. 이제 아주 조용조용히 하십시오. 자 여기는 3의 배수에서만 치겠습니다. 2, 3학년에서 할 수 있는 것입니다. (나머지 청중의 반은 3의 배수에서 박수를 치도록 한다) 2의 배수와 3의 배수에서 동시에 박수를 쳐야 해요. 혼돈이 일어나서는 안 됩니다. 자, 어느 때에 박수를 동시에 칠까요? 2와 3의 최소 공유의 수인 6에서 그것이 나타나겠지요. 자, 한번 해볼까요? 여러분들 스스로 시험해 보시기 바랍니다. 여러분들이 집중하지 않으면 혼돈스러워질 것입니다. 그러면 그만할 겁니다. (청중들 동시에 박수 치기 시작) 자 그러면 여러분들은 이 안에서 아주 멋진 리듬이 나오는 것을 발견할 수 있을 것입니다. 5음계를 경험할 수 있을 것입니다. 이 리듬을 들으셨나요? 여러분들 스스로 해 낸 리듬을 들었어요? 육화가 덜 된 아이들은 숫자에 대해서 관계성을 맺는 것을 굉장히 어려워하는데요, 이런 아이들은 이런 활동을 통해서 숫자에 리듬적인 관계를 통해서 숫자를 배울 수 있습니다. 리듬은 힘을 만들어냅니다. 리듬을 통해서는 쉽게 피곤해지 않습니다. 오늘은 이만 마치고 내일 좀 더 나가보도록 하겠습니다. 

* 두 번째 강연은 아래 파일.

수학, 어떻게 배울 것인가(2).pdf