게오르그 글뢱클러 선생님의 수학 강연 (2)

게오르그 글뢱클러 선생님의 수학 강연 (2) - 2012년 4월 24일 화요일

 

 

오늘 다시 인사드리겠습니다. 어제 제가 마지막에 질문이 있으면 미리 주셔서 시작할 때 함께 했으면 좋겠다고 했는데요. 혹시 질문이 있으신가요?

 

- 어제 수업 내용이 아니라, 혹시 시간이 되시면 6,7학년에서 교사가 천문학 수업을 할 때 어떤 상을 갖고 준비하면 좋을지 말씀해 주시면 고맙겠습니다.

 

1-3학년

4-5학년

6-7-8학년

 

어제 말씀 드린 세 가지의 구조는 상당히 중요합니다. 4-5학년 과정에서는 어제 분수 연산에 대해 했지요. 지금은 조금 결정적인 순간이 왔습니다. 어제 한 것은 절대적으로 아이들이 할 수 있도록 해야 합니다. 만약 그걸 하지 못한다면 앞으로도 계속 어려움을 갖게 될 것입니다. 저는 상급 학생들에게 보충수업의 기회를 많이 주었습니다. 2/5+1/3은 무엇이냐고 상급학생들에게 물었는데 절반의 아이들이 답하지 못했습니다. 어제 말씀 드린 바와 같이 ‘Dyskalkulie'라는 어려움이 있으면 연산을 하지 못하고, 그것을 위한 센터가 도시마다 있다고 말씀 드렸지요. 만성적인 계산능력의 어려움은 어제도 우리가 관찰해보았지만요, 만일 우리가 이런 학생들과 얘기를 해본다면 교사가 이런 문제를 가져온 것입니다. 대수(방정식)이 6-8학년에 오는데 교사가 말하기를, 우리가 지금까지는 수만 갖고 계산했지만 이제는 문자로 계산해봅시다. a+b. 이제 무엇을 해야 할까요? 여기서 뭐가 나옵니까? 교사가 이제 문자로 계산을 하자고 하면 절반의 학생은 이해를 하지 못합니다. 뭐가 문제입니까? “여러분 이걸 계산해보세요” 하지만 교사 스스로 불확실해서는 안 됩니다.

 

만약 2 더하기 3은 5라고 쉽게 계산할 수 있습니다. 그런데 a 더하기 b는 쉽지 않습니다. 대수(방정식)라는 게 무엇입니까? 사실 문자로 계산한다는 것은 일단 있을 수 없는 일입니다. 아이들에게는 이게 무슨 상황인지 파악할 수 없습니다. 할 수 없는 일, 될 수 없는 일을 교사가 요구한 것입니다. 계산의 능력이 부족한 아이들에게 2+3=5다, 라는 말을 하면 ‘왼쪽과 오른쪽은 다른데 뭐가 같은 거지?’ 이렇게 생각합니다. 그러면 무엇이 같다는 겁니까? 아이들 중에는 좌변과 우변이 다른데 왜 같다고 하는지 이해 못합니다. 그럴 때는 11=11이라고 해주면 금방 이해합니다. 연산능력장애에 대해 연구하는 사람들은 그러한 것을 이해할 수 있습니다. 문제는 아이들이 느끼기에는 다른데 교사가 자꾸 같다고 하는 것에 있습니다.

 

생각해보세요. 여기 아주 꽃이 만발한 나무가 있습니다. 그리고 여기 아이들이 있습니다. 교사에게 문제가 있다는 걸 말씀 드리려고 합니다. 단지 5% 정도의 아이들만 특별한 어려움이 있는 것이지, 나머지는 모두 교사들에게 달려 있습니다. 뇌성마비 같은 마비가 있는 아이들은 악수를 할 때 옆으로 비껴나게 됩니다. 테스트를 한번 해보겠습니다. 여자아이가 하나 있습니다. 보통 여자애들은 하의를 짧게 입고 행동하는 걸 보면 공중에 떠있는 듯한 모습을 보입니다. 짧은 치마를 입고 이렇게 있습니다. 신장염이 걸린 아이였습니다. 짧은 치마에 얇은 옷을 입던 아이에게 길고 따뜻한 옷을 입게 했더니 8일 정도만에 그 병이 사라졌습니다. 학부모 모임에서도 그런 얘기를 할 필요가 있습니다. 여러분들은 다 바지를 입고 있지요? 그건 기업체 간부 같은 복장이라고 할 수 있습니다. 남아프리카에 갔을 때 항상 6,7명의 아이들은 항상 감기에 걸려 있었습니다. 이 아이들은 하의를 거의 입지 않는 경향이 있었습니다. 그런데 이렇게 마비가 오는 아이들에게는 어떻게 해야 할까요? 그런 아이에게는 바지를 끌어올리고 다리를 들어올리라고 합니다. 자, 모두 일어나서 한 발을 천천히 들어올려서 아주 평온한 상태로 계셔 보세요. 다른 다리에 기대지 말고 부드럽게 든 발을 흔들어보세요. 일반적인 상황인데, 이걸 할 수 있는 사람은 보통 수학을 잘 할 수 있습니다. 그런데 마비나 경련이 있는 아이들은 한 발로 설 수 없어서 기대거나 넘어지는데 이런 아이들은 계산을 어려워합니다. 일반 아이들도 이걸 잘 못하면 수학을 잘 못합니다.

 

오이리트미가 좋은 도움을 줄 수 있습니다. 천천히 발을 들었다가 걸어가는 연습을 하면 좋습니다. 그냥 발을 끌면서 걸어가는 아이들은 보통 셈하는 걸 어려워합니다. 몸의 균형을 유지하면서 한발씩 가는 게 셈하기 능력을 키워주는 것입니다. 여러분을 모두 이걸 알고 계셔야 합니다. 일반인간학을 배워야 합니다. 수학은 균형을 주관하는 기관과 운동을 주관하는 기관과 연관이 깊습니다. 만약 이런 기능이 되지 않는다면 수학은 어렵습니다. 머리에 무엇을 올리고 천천히 발을 들어 걷는 것을 연습합니다. 쉽지 않은 연습일 수 있습니다. 담임교사도 이런 연습을 하면 좋을 것입니다. 구리봉을 올리고 걸을 수도 있습니다. 더욱 어렵습니다. 이걸 잘 못하는 아이는 셈하기에 어려움이 있습니다. 어린 아이들을 보고 이걸 해봐라, 할 수 있습니다.

 

아이가 할 수 없는 것을 교사가 요구하지만 대책이 없는 상황이 지속됩니다. 보충수업을 많이 하면서 부모들과 이런저런 대화를 합니다. 그러면서 부모님이 자기 아이를 교사에게 보내도 되겠냐고 물어봅니다. 담임교사가 얘기하기를 다음 주에 수학에포크가 시작됩니다, 라고 말합니다. 그런데 뭐가 문제입니까? 에포크가 있다는 말만 듣고도 아이가 오줌을 지릴 정도가 되었습니다. 그 주간에 아파서 학교에 오지 않는 경우도 발생할 수 있습니다. 10명 중에 4명의 아이들이 이런 어려움을 겪고 있는 상황입니다. 그리고 또한 교사에게도 해결책이 없다면 더 많은 어려움이 생기겠지요. 그러면 어떻게 해야 할까요? 2 더하기 3을 어떻게 해야 할까요? 2 더하기 3은 5가 됩니다. 좌변은 아직 더하지 않았지만 우변은 더했습니다. 그래서 등호 위에 작은 1을 씁니다. 그런데 어른들은 이걸 똑같다고 말합니다. 이번에는 2+3=1+4에서 무엇이 똑같다는 말입니까? (결과가 같다는 것입니다) 이렇게 답이 빨리 나올 거라 생각 못했는데요, (웃음) 양쪽의 과정은 다르지만 결과는 같다는 말입니다. 그런데 이 사실에 대해서 많은 교사들이 알지 못합니다. 아이들은 이 지점부터 막혀서 수학에 대해 담을 쌓는 것입니다. 저는 항상 말하기를, 실제로 아이들과 행할 때는 상황이 다릅니다. 다른 수업에서는 이런 문제가 없습니다. 역사수업에서는 ‘이것과 이것은 똑같다’ 이런 얘기를 하지 않습니다. 그런데 만약 물리수업을 하게 될 때는 더 심각합니다. 상급과정에서는 힘은 질량 곱하기 가속도라는 공식을 제안합니다. 힘, 질량, 가속도는 눈에 보이지 않는데 어디에 있는 것입니까? 이것은 완전히 상식적이지 않습니다. 오늘날의 시대에 이런 식으로 제안을 해놓고 아이들이 왜 이해를 못하는지 이해를 못합니다. (웃음) 그래서 우리가 아이들과 이런 계산을 하면서 무엇이 같냐를 얘기하려면 정말 무엇이 같은지를 알고 얘기해야 합니다.

 

5≡5는 약간 다른 상황입니다. 5는 항상 5라고 할 수 있습니다. 이것은 아주 깊이 숨어있는 영역입니다. 왜냐면 우리의 습성에 아주 깊이 들어가 있기 때문입니다. 이러한 어려움 때문에 많은 아이들이 함께 해결할 수 있는 방향으로 올 수 없습니다. 한 번 더 얘기해볼게요. 2+3은 1+4와 같은 결과를 가져온다고 말해야 하는 것입니다. 하지만 좌변과 우변은 전혀 다릅니다. 좌변은 2와 3이고, 우변은 1과 4입니다. a+b=b+a는 문자식이지만 통할만 합니다. 그런데 무엇이 어려움으로 옵니까? 문자를 가지고는 우리가 전혀 계산할 수 없습니다. 그렇지만 문자식의 법칙에 대해서는 말할 수 있습니다. a+b=b+a은 무엇입니까? 덧셈의 경우에는 더하는 수들의 위치를 바꾸어도 결과는 같은 값이라는 법칙을 말할 수 있습니다. 2에서 3을 더하는 것과 3에서 2를 더하는 것은 결과가 같습니다. 하지만 과정은 다릅니다. 항상 결과와 과정을 함께 봐야 합니다.

 

이 얘기를 듣는 순간, ‘아이고, 내가 그동안 아이들과 정말 잘못했구나’ 하고 생각할 수 있습니다. 발도르프학교의 교사로서 인간학을 공부했다면 이런 실수를 절대 범할 수 없습니다. 그리고 물리에서는 더욱 심각합니다. s=v*t 거리는 속도 곱하기 시간입니다. 이걸 아이들이 어떻게 이해할 수 있을까요? 시간과 속도를 어떻게 곱해요? 할 수가 없습니다. 내가 저기까지 갈 때는 일곱배의 시간이 더 필요한 걸 알지만, 거기에 속도를 곱한다는 건 뭘 말하는 걸까요? 저도 물리를 공부했지만 이렇게 말하는 것에 대해 생각을 해보지 못했습니다. 그런데 어디든 40%의 아이들은 이런 식으로 제안하면 이해하지 못합니다. 그러면 보충수업을 해야 하고, 보충수업을 하면 돈도 들지만, 또 다른 아이들보다 잘할 수도 있습니다. 하나의 문제가 계속 문제를 낳게 됩니다. 그래서 주의해야 할 것은 대수(방정식)란 셈하기의 법칙임을 알아야 합니다.

 

하나의 예를 더 들겠습니다. 6학년의 상황입니다. 이제 우리 암산을 해볼 건데요, 7 곱하기 17은 뭔가요? (119입니다) 이런 암산문제를 할 때 교사는 인상을 쓰면 안 되고 웃어야 합니다. 아주 신선하고 밝은 영혼의 태도로 아이들과 이런 작업을 해야 한다고 슈타이너가 말했습니다. 17 곱하기 17은 이백 얼마입니다, 이렇게 웃으면서 하는 방식이 있고, 교사 스스로 어렵게 답을 끌어내는 태도가 있습니다. 어떤 게 더 좋겠습니까? 11*17은요? (187) 손을 들어요. 손을 들어서 맞추고 맞추는 사람은 자꾸 어려운 과제를 줍니다. 손을 못 드는 아이들을 위해서는 11*7 같은 문제를 또 내줍니다. 그러면 조심스럽게 손을 들어서 맞추게 되면 아주 잘했다고 칭찬해주면 그 아이는 용기를 내게 됩니다. 전체 학급분위기가 우리는 계산할 수 있어, 하는 자신감을 갖게 됩니다.

 

학생들 중 지식의 사도라 할 수 있는 아이가 꼭 있습니다. 그런 아이들을 위해서는 별도로 아주 어려운 과제를 내줍니다. 프랑스 수학자 갈로(E. Galois)는 전체 수학자들이 이해할 수 없을 정도의 성과를 보여준 사람입니다. 그 사람이 성적표를 가져왔을 때 거기에 이렇게 쓰여 있었습니다. ‘이 학생은 가장 어려운 문제만 해결합니다’ 이런 아이들에게는 아주 어려운 과제를 줄 수 있습니다. 27*27은요? (729) 맞습니다. 이런 작업은 아이들에게 쉽지 않습니다. 그러면 수업에서 얼마 정도 해야 할까요? 1시간입니까, 10분입니까? 5분은 너무 짧아요. 12분 정도가 적당합니다. 이걸 너무 오래하면 지루해지지요. 너무 짧게 하면 ‘아니, 우리 뭐했지?’ 하게 됩니다. 수학에포크 때 아침마다 하면 좋습니다. 13 더하기 31은? 147-45는? 이렇게 아이들에게 수준 낮은 과제를 줄 때는 조금 유머스럽게 합니다. 158! 빼기 5~. 이런 식으로요. 이런 식으로 가볍게 긴장을 풀어줄 수 있습니다.

 

자, 집중해주세요. (책상을 교사가 쿵쿵쿵 친다) 얼마죠? (7이요) 이런 식의 연습이 아주 리듬적인 사고형성에 큰 도움을 줍니다. (리듬적으로 오랫동안 책상을 친다) 얼마입니까? (12) (13) 이건 왜 어렵습니까? 사실은 이게 그렇게 리듬적이지는 않았어요. 복잡하게 되었습니다. 베토벤을 잘 안다면 할 수 있겠지만요. (10!) 교실이 너무 시끄러우면 조그맣게 해볼 수도 있습니다. 얼마였습니까? 더 작게 해볼게요. (7) 아까 했던 것을 전체 아이들과 하면서 잘하는 아이들에게는 더 어려운 과제를 주면 좋은 연습이 됩니다. 나가면서 아이에게 “너 오늘 잘했어” 이렇게 말해줍니다. 슈타이너는 이렇게 말했습니다. “셈하기는 영혼의 질을 향상시킨다”

 

다시 대수로 돌아와서, 대수라는 것은 무엇일까요? 우리는 6학년입니다. 곱하기도 연습하고요. 암산하면서 곱하기도 연습했어요. 철수가 뒤에 앉아서 피곤하고 지루해합니다. 그 아이에게는 ‘도대체 뭐야’ 지루합니다. 철수를 불렀습니다. “무슨 일인가요?” “아우, 지루해요” “왜 지루하지?” 왜냐하면 철수의 상황을 교사가 해결해야 하는데 계속 이런 문제를 내기 때문입니다. 7*9=8*8-1 교실에서 자주 벌어지는 상황입니다. 철수에게는 항상 수업이 이렇게 되기 때문입니다. 누가 이런 상황을 이해할 수 있습니까? 인간학을 공부해야 합니다.

 

6학년에서는 어떤 상황이 주어지나요? 교육과정에는 6학년에 대수를 한다, 정도만 나와 있지요. 어떤 교사는 “나는 6학년 때 대수를 하는데, 발도르프교육과정에 그렇게 쓰여 있기 때문입니다” 라고 합니다. 대부분 초임교사들이 그렇게 말합니다. 하지만 아닙니다. 아이들이 그런 상황이기 때문에 대수를 하는 것입니다. 잠재되어 있는 질문을 파악하고 거기에 집중해야 합니다. 사실 아까 철수는 ‘도대체 그 내용이 뭡니까?’ 하는 질문을 한 것입니다. 교과과정 예시표가 수업을 지시하는 게 아니라 학생들의 상태와 요청이 우리의 수업을 만들어줍니다. 교사가 바로 그걸 느껴서 5*7도 6*6-12이 된다는 걸 알아서 한 것이니? 하고 물을 수 있습니다. 가끔 지적으로 똑똑한 아이가 교사보다 수준이 높을 수도 있습니다. 그러면 아이는 교사가 자기 수준을 이해한다는 걸 알고 얼굴이 펴질 수 있습니다. 그 상황에서 철수가 무얼 질문하면 아이들 모두 관심을 보입니다. 아이들끼리는 누가 수학을 제일 잘하는지, 누가 가장 힘이 센지 잘 알고 있습니다. 이런 것도 있는데, 누가 우리 반에서 가장 친절하고 예의바른 여학생인지도 아는데, 재미있는 관심입니다. 전체적인 아이들은 잘 알고 있습니다. 교사는 그런 아이들을 통해서 정보를 얻고 배워야 합니다.

 

그러면 발도르프학교의 수업은 대체 무엇이어야 합니까? 이 얘기는 모든 수업의 기준은 학생들의 질문에서 비롯되어야 한다는 것입니다. 그렇지 않은 상황이 된다면 어떻게 될까요? 그러면 학생들은 말을 안 듣는 학생이 됩니다. 저 스스로가 학생 시절에는 그렇게 사랑스러운 학생은 아니었습니다. 제가 어렸을 때 지리 선생님이 몬순기후에 속해 있는 아시아의 경제적이고 인문적인 상황을 공부하겠다고 했을 때, 제가 그건 관심 없다고 했습니다. 저는 일년 동안 마젤란이 항해한 항로에 얼마만큼의 배가 다니는지 관심 있다고 했습니다. 교사에게는 아주 화가 나는 일입니다. 교육학자에게 물었습니다. 어린이 안에는 무엇이 아이에게 모티브를 주냐고 물었습니다. 예를 들어서, 어느 지점에서 아이들이 물리학에 관심이 생기는지, 자기 스스로 동기부여가 어떻게 되는지 물어봤습니다. 아주 유명한 리텔마이어라는 교육학자가 있었는데요, “그것은 아직까지도 명확하게 밝혀지지 않은 사실입니다”라고 말했습니다. 감춰져 있는 질문에 대해 우리가 관심을 가지고 이해하는 것은 아주 멋지고 중요한 것입니다. 예를 들어, 교사아 아이들이 폭발에 대해 흥미를 가질 것 같아 그걸 수업하면 아이들은 ‘왜 저걸 하지?’ 할 수 있습니다. 학생들은 항상 묻습니다. “오늘 왜 이걸 하지요?” 관심이 없거나 동기부여가 되지 않기 때문입니다. 아이들은 그래서 장난을 칩니다. 그러면 교사가 말합니다. “조용히 하세요!” 실습할 때 이런 모습이 나옵니다. 그러면 아이들은 더 장난을 치고 교사는 아주 큰 소리로 “조용히 해!” 이렇게 말합니다. 이때는 항상 교사의 언성이 위에서 아래로 내려와야지, 아래에서 위로 내려오면 안 됩니다. 끝이 올라가면 아이들은 웃기만 합니다.

 

다시 아까의 문제로 돌아와서 철수라는 아이가 무엇을 발견했습니까? 철수는 이제 곱셈, 암산은 지루해서 흥밋거리가 되지 않습니다. 그 아이는 이제 계산의 규칙을 알게 되어서 전혀 다르게 이해할 수 있게 되었습니다. 7*13을 하라고 하면 10*10-32입니다. 두 수의 가운데 수를 두 번 곱하고 그 간격의 수를 제곱해 빼면 되는 것을 안 것입니다. 이 규칙은 어디서 오는 것이냐면 (a+b)(a-b)=a2-b2에서 오는 것입니다. 아이 스스로 이 대수의 법칙을 발견한 것입니다. 그래서 교사가 “네가 이 대수의 법칙을 발견해냈구나” 하고 말해줍니다. 또 다른 대수의 법칙이 있습니다. (a+b)(a+b)=a2+2ab+b2

 

이것이 바로 발도르프교육이고, 아이들의 질문에서 수업이 시작된다는 것입니다. 교사로서 나는 항상 아이들이 어떤 질문을 갖고 있는지 질문해야 합니다. 물리에서는 또 어떤 질문이 올까요? 7학년의 경우에, 제가 기차를 타고 가다가 열쇠를 떨어트렸어요. 수직으로 떨어졌어요. 그런데 기차는 빨리 지나가는데 열쇠는 어떻게 수직으로 떨어질 수 있을까요? 이쯤에 떨어져야 하는데 왜 그럴까요? 만약 어느 교사도 그것에 대해 답을 못해준다면 아이는 굉장히 불행해집니다. 6학년 정도에는 사춘기가 시작되는데요, 또 다른 상황이 옵니다. 숨겨진 질문에 대해 우리는 알고 있을까요? 저도 초임 때는 많은 실수를 했습니다. 그렇지만 저는 책이 아니라 학생을 통해 배웠습니다. 예를 들었던 아이는 마리온이라는 아이였습니다. 많은 아이들이 이해했는데 모르는 아이들이 있습니다. 문제없어요, 하고 또 설명을 합니다. 그러면 또 대수에 대해 설명을 합니다. 또 이해를 못하는 아이들이 있습니다. 같은 얘기를 3번 설명했습니다. 이 지점에서 제가 실수를 했습니다. “아직도 이해를 못한 사람이 있습니까?” 하고 물었는데, 이것은 교사로서의 실수입니다. 아이들이 이해를 못한다는 건 문제될 게 없는데 그걸 문제시하는 것은 교사의 잘못입니다. 아이들은 교사의 생각보다 더 영리합니다.

 

마리온이라는 아이가 용기를 내서 손을 들었습니다. “제가 이해를 못했습니다” 3번이나 설명을 했는데 많은 아이가 이해를 못하는 어려운 상황에 놓였습니다. 마리온은 이렇게 항의했습니다. “선생님이 3번이나 설명했지만 다 똑같은 방식으로 설명하셨습니다” 저는 집에 가면서 ‘내가 계속 교사를 할 수 있을까?’ 하는 고민을 했습니다. 아이의 문제제기는 제가 살아있는 사고를 하지 못했음을 알려준 것입니다. 학생이 교사를 진단한 것입니다. 그러면 교사는 어떻게 해야 합니까? 그래서 저는 제 나름의 해답을 찾았습니다. 교사가 아이들에게 설명할 때에는 최소한 3개 이상의 다른 방식을 찾아서 하여라. 그러면 아이들에게 큰 도움이 됩니다. 사춘기쯤 되면 아이들은 상당히 문법적이고 규칙적이기 때문에 교사가 하고자 하는 방식만도 안 되고, 아이가 하고자 하는 방식만도 안 됩니다. 그 둘을 움직이는 방식을 찾아야 합니다.

 

우리가 동물학을 하는데, 언제 어떤 내용으로 해야 하고, 왜 그걸 해야 합니까? (4학년) 왜 그렇습니까? 이때는 어제 얘기한 전사춘기로 2차성징이 시작하는 시기로써 자기가 스스로 홀로 서야 하는 독자성과 함께 두려움이 등장합니다. 독자적으로 서기 위한 두려움인데 이것이 어떤 두려움인지 알아야 합니다. 교사는 이때 동물학을 하면서 사자를 다룹니다. 엄마가 집에서 딸에게 물어봅니다. “너 학교에서 뭐 배웠니?” “난 이제 동물에게 두려움을 갖지 않아요” 이렇게 답합니다. “너 왜 두려움이 없어졌니?” “왜냐면 오늘 사자에 대해 배웠기 때문이에요” 의식은 두려움을 사라지게 합니다. 그렇기 때문에 사자를 다루는 동물학은 4학년에 해야 하는 것입니다. 나중에 하는 것이 아니라 바로 그 순간에 하는 것입니다. 6학년에 대수를 하는 것도 마찬가지입니다. 아주 적확한 순간에 해야 합니다.

 

대수를 어느 정도 다룬 다음에는 이제 이자율에 대해서 공부를 합니다. 이런 상황이 되면 교사는 자기 과제가 많아져서 힘든 상황이 됩니다. 대수는 벌써 상당히 추상적인 영역으로 넘어온 것입니다. 그런데 슈타이너는 항상 우리의 수업이 생활과 연결된 생활의 공부가 되어야 한다고 말하지요. 일반적인 삶에 대해 알아야 한다고 해서 삶의 공부(Lebenskunde)라고 했습니다. 이렇게 되면 아주 멋진 수업이 될 것입니다. 그러면서 반모임에서 학생들에게 용돈이 얼마나 필요한지에 대해 부모님들에게 물어봅니다. 그러면 아주 다양한 금액이 나올 수 있겠지요. 그 아이들은 이제 돈에 대해 관심이 생겼습니다. 그래서 돈과 관련된 생활이 어떻게 되는지에 대해 배우는 것입니다. 시내쪽으로 가면 은행이 있습니다. 은행에서는 무슨 일을 합니까? 이런 주제를 가지고 반모임에서 준비를 하는 것입니다. 아이들은 놀라울 정도 흥미로운 이야기를 합니다. 사람들이 거기에 많이 들어갔다가 나오는데, 아버지가 가서 돈을 가지고 나옵니다. “누구나 가서 돈을 꺼내올 수 있는 거니?” 하고 물어봅니다. “아니요. 가끔 어머니가 돈을 넣기도 합니다.” 그러면 무슨 일이 있길래 돈을 넣고 빼는지 물어봅니다. 만약 은행에서 무얼 하는지 모르는 교사가 있다면, 은행원을 초대해서 은행에서 벌어지는 일을 학생들에게 들려줄 수도 있습니다. 돈을 집에다 보관할 수도 있는데 왜 은행에 돈을 넣을까요? 어떤 학생은 “더 많은 돈을 가져오려고 그렇지요” 하고 답합니다. 그러면 다른 사람은 돈을 더 뺏길 텐데 어떻게 그럴 수 있겠니? 하고 물어봅니다. 처음에는 돈의 흐름에 대해 아주 천천히 얘기를 합니다.

 

무엇이든 최초의 기억이 중요한데 분수 수업에서 최초의 기억이 뭡니까? 첫 번째의 분수 수업에서 교사가 나무 막대기를 절반으로 부러트렸습니다. 절반과 절반이 합해진 것이 하나입니다. 가능하면 효과적으로 큰 것을 부러트립니다. 그전에는 모든 걸 전체로 바라봤다면 이제는 계속 분절하는 것입니다. 돈에 관한 이야기를 처음 할 때 어떻게 하겠습니까? 왜 사람들은 자기가 넣은 돈보다 많은 돈을 가져올 수 있는지에 대해 얘기해봅니다. 은행에서 돈을 빌릴 수도 있는데, 어떤 경우에 돈을 빌릴 수 있는지 물어봅니다. 교사는 이런 것들에 대해 잘 알고 있어야 합니다. 여기 있는 교사들은 모두 은행이라고 할 수 있는데요, 은행은 금융자산에 대해 잘 알고 있습니다. 확실히 알수록 많은 성과를 얻을 수 있습니다. 매달 월급을 받으니 여기 있는 교사들은 좋은 상황이라고 할 수 있습니다. 학교가 그것을 지불해야 합니다. 은행은 어떻게 하면 좋을지, 어떻게 하면 나쁠지 알고 있습니다. 이 사람이 경제적으로 잘 되어 가면 잘 안 될 때보다 돈을 더 빌려줄 수 있습니다. 그래서 이게 문제인데, 돈을 많이 가지고 있는 사람일수록 돈을 더 많이 가져갈 수 있습니다. 돈이 없는 사람은 더 가난하게 됩니다.

 

예를 들어, 여기 목수가 한 명 있습니다. 주문을 받았습니다. 학교를 위해 200개의 책상을 주문을 받았는데 아주 큰 주문입니다. 여기서 돈을 벌 수 있습니다. 목수에게는 조수가 한 명 있습니다. 원형톱을 하나 갖고 있는데, 이 주문을 소화하려면 원형톱 한 개가 더 필요합니다. 그러려면 돈이 필요합니다. 돈을 주고 그걸 사는 게 일을 하는 데에 도움이 됩니다. 그래서 목수는 은행에 갑니다. 15분간 상담을 합니다. 100만원을 빌리겠다고 합니다. 은행원은 목수가 경제적으로 어떤지 분석을 하겠지요. 그 동안 이자를 잘 냈고 믿을만한지가 중요합니다. 신용이 중요합니다. 돈은 신뢰를 형성하게 하기 때문에 도덕적인 것과 연결되어 있습니다. 그래서 은행에서 실질적으로 돈을 이만큼 빌려주었습니다. 그런데 은행에서도 돈을 빌려주면서 목수에게 뭔가를 얻어야 하지 않겠어요. 그래서 이율을 조정합니다. 이자를 얼마만큼 할까요? 빌리는 사람은 최대한 적게 하고 싶습니다. 만약에 그 목수가 아주 좋은 고객이었다면 한 3% 대출이자를 하겠지요. 이자를 조정하는 것은 굉장히 정치적인 일입니다. 한 3개월 정도 이 돈을 빌려야 하고 그 이후에는 갚을 수 있다고 합니다. 그래서 이 이자율을 가르칠 때는 정말 천천히 가르쳐야 합니다.

 

Z=k*p*t/100

 

원금(k) : 100만원

시간(t) : 1/4년(3개월)

이율(p) : 3%

 

슈타이너가 이걸 하면서 굉장히 복잡한 형태라고 하였습니다. 이 식 자체를 그림처럼 받아들여야 합니다. 하나 하나 이해시키려 한다면 넘쳐버릴 것입니다. 그 전에 문자식을 한 것과 연관시켜 말해줄 수 있을 것입니다. Z=1000000*3*1/4 / 100원입니다. 6학년에서는 굉장히 어려운 과제인데, 설명하지 않고 그냥 공식을 주어야 합니다. 설명하는 것은 상급에 가서 하면 됩니다. 설명을 하게 되면 어떤 아이에게는 너무나 많은 것을 주게 되는 것이라서 좌초된 배처럼 됩니다. 언젠가는 이것에 대해 천천히 이해하게 됩니다. 이렇게 어려운 것을 대수의 최초에 제시하는 것입니다. 무척 복잡하기 때문에 그냥 계산할 수 있으면 충분합니다. 약분을 하면, Z=1000000*3*1/4 / 100=10000*3*1/4=2500*3=7500. 계산을 하면 너무 싸게 빌렸다고 생각할 수 있는데, 이 사람이 1년이 아니라 3개월만 빌렸기 때문입니다. 이 식을 가지고 계산할 수만 있으면 됩니다. 이걸 해결할 수 있는 것에 대해 아이들은 굉장히 만족하고 자랑스러워합니다.

 

이 공식이 처음에는 굉장히 추상적이었는데, 처음 과제를 완성하고 난 뒤 4개에서 5개의 예를 풀어봅니다. 그러면 아이들은 우리 아버지가 돈을 얼마 빌렸고 하는 내밀한 가족상황까지 얘기합니다. 아이들은 그런 얘기를 하는 걸 아주 즐깁니다. 어떤 아이가 이렇게 얘기하지요. “일요일날 저는 아빠를 위해서 쇼핑을 하는데요. 우리 아빠는 일요일마다 드시는 걸 좋아해서 조그만 빵 4개를 드시고, 우리 아이들은 2개만 먹어요. 엄마는 3개 정도 드세요. 거기에 커피도 곁들여지고, 저희는 카카오를 마셔요.” 이런 이야기들을 아이들은 말합니다. 이런 것들이 다 돈과 관련이 있습니다. 어떤 아이는 용돈으로 만원을 받고, 어떤 아이는 “난 용돈이 없는데. 그래서 필요한 걸 살 때마다 사도 되는지 물어봐야해.” 이렇게 말합니다. 그래서 반모임에서 학부모들과 얼마를 용돈으로 줘야 할지 얘기해야 합니다. 수업의 내용이 얼마나 도덕적이어야 하는지가 이런 이야기에서 나옵니다. 한 여자아이가 말합니다. “제가 백화점에 가서 풍선을 살려고 했는데요, 500원밖에 없었어요. 그런데 풍선이 600원인 거였어요. 그래도 살려고 하니까 점원이 이건 600원이라고 안 된다고 했어요. 그러면서 점원이 저를 아주 뚫어지게 바라봤어요. 제가 나중에라도 100원을 가지고 온다면 그걸 줄수도 있다고 했어요.” 여기에서 우리가 상냥한 태도를 가지면 뭔가를 더 얻을 수도 있다는 걸 알 수 있지요.

 

이런 수학수업이 다른 수업과 다르다는 걸 알 수 있습니다. 대수를 위해서는 우리가 삶에 대해 알아야 한다는 것입니다. 삶의 수학과 대수는 연결되어 있습니다. 모든 질문은 실제적인 삶에서 나와야 합니다. 교실에서 이런 이야기도 할 수 있습니다. 은행은 어떻게 일을 하고 있는가? 교사가 이제 돈에 관한 아주 좋은 것을 이야기할 수 있는 차례입니다. 이제 문장 문제가 나옵니다. 삶의 실제적인 이야기들이 나옵니다. 어떤 공이 1초에 3미터를 가고, 다른 공은 1초에 5미터를 간다면 어디에서 만날 수 있을까요? 교사가 제대로 이끌어주지 않는다면 아이들은 두려움을 갖게 될 것입니다. 이 과제를 아주 잘해야 합니다. 실질적인 속도나 물리적인 움직임에 대한 것을 예로 들어서 문장문제를 내었으니 이것을 풀어낼 수 있는 구체적인 능력이 필요한 것입니다. 7-8학년에서 나오는 문제입니다. 1초에 3미터를 가는 공과 1초에 5미터를 가는 공이 한 방향으로 간다면 어디에서 만나게 될까요? 이건 대표적인 대수의 문제입니다. 반드시 8학년에서 다뤄야 할 문제입니다.

 

천문학에 대해서는 이야기할 시간이 많지 않은데요. 이 책에는 1학년부터 천문학을 어떻게 이끌어가야 할지가 잘 나와있습니다. 모든 교사들은 별자리에 대해서 잘 알아야 합니다. 카시오페이아, 오리온, 사자자리 등. 실제적으로 학급여행 때 밖에 나와서 하늘의 별자리에 대해 말해야 하는데 그럴 때도 필요한 일입니다. 그리고 모든 별자리가 신화와 관련되어 있지요. 오리온은 위대한 영웅으로 창을 차고 있습니다. 모든 별자리가 이야기를 가지고 있어요. 그걸 다 공부하셔야 합니다. 도대체 우리는 얼마나 많은 걸 배워야 할까요? 발도르프교사는 계속 배워야 합니다. 슬픈 게 아니라 행운인 것입니다. 발도르프교사는 완성되는 게 없습니다. 완전히 완성되었다면 끝내야 할 때지요.

 

다음 시간에 어떻게 하는 게 좋을까요? 6-8학년 수학에 대해 더 배우는 게 나을까요? 천문학을 하는 게 나을까요? (수학을 합시다!)